Theorem gsumfzfsumlemm 14594

Description: Lemma for gsumfzfsum 14595. The case where the sum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumfzfsumlemm.b	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlemm

Dummy variables j w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsumlemm.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10260	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	mpteq1d 4172	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... M ) |-> B ) )
6	5	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( w = M -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) )
7	4	sumeq1d 11920	. . . . 5 |- ( w = M -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
8	6, 7	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( w = M -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) ) )
10		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
11	10	mpteq1d 4172	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
12	11	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( w = j -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
13	10	sumeq1d 11920	. . . . 5 |- ( w = j -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... j ) B )
14	12, 13	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( w = j -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) ) )
16		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
17	16	mpteq1d 4172	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) )
18	17	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) )
19	16	sumeq1d 11920	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
20	18, 19	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
22		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
23	22	mpteq1d 4172	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... N ) |-> B ) )
24	23	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( w = N -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) )
25	22	sumeq1d 11920	. . . . 5 |- ( w = N -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
26	24, 25	eqeq12d 2244	. . . 4 |- ( w = N -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) ) )
28		cnfldbas 14567	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
29		cnring 14577	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
30		ringmnd 14012	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
31	29, 30	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
32		eluzel2 9753	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
34		eluzfz1 10259	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
36		gsumfzfsumlemm.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) B e. CC )
38		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ M / k ]_ B
39	38	nfel1 2383	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ M / k ]_ B e. CC
40		csbeq1a 3134	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> B = [_ M / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2298	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( B e. CC <-> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2902	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) B e. CC -> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
43	35, 37, 42	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ M / k ]_ B e. CC )
44	40	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> B = [_ M / k ]_ B )
45		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ k ph
46	28, 31, 33, 43, 44, 45, 38	gsumfzsnfd 13925	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) = [_ M / k ]_ B )
47		fzsn 10294	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
48	33, 47	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
49	48	mpteq1d 4172	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> B ) = ( k e. { M } |-> B ) )
50	49	oveq2d 6029	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) )
51	47	sumeq1d 11920	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
52	33, 51	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
53		sumsns 11969	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
54	33, 43, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
55	52, 54	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = [_ M / k ]_ B )
56	46, 50, 55	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
58		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B )
59	58	oveq1d 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
60		mpocnfldadd 14568	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )
61	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Ring )
62	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
63		elfzouz 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ph )
66	65, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
67		elfzoel2 10374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzelz 10253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
71		elfzle1 10255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> M <_ k )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M <_ k )
73	70	zred 9595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. RR )
74		elfzoelz 10375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ZZ )
75	74	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
76	75	peano2zd 9598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
77	76	zred 9595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
78	68	zred 9595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. RR )
79		elfzle2 10256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
81		fzofzp1 10465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
83		elfzle2 10256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( j + 1 ) <_ N )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ N )
85	73, 77, 78, 80, 84	letrd 8296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ N )
86	66, 68, 70, 72, 85	elfzd 10244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
87	65, 86, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> B e. CC )
88	87	fmpttd 5798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> CC )
89	28, 60, 61, 62, 64, 88	gsumsplit1r 13474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) )
90		fzssp1 10295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
91		resmpt 5059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
92	90, 91	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
93	92	oveq2d 6029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
94		peano2uz 9810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
95	63, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		eluzfz2 10260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
99		rspcsbela 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) /\ A. k e. ( M ... N ) B e. CC ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
100	81, 37, 99	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
101		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B )
102	101	fvmpts 5720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
103	98, 100, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
104	93, 103	oveq12d 6031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
105		cnfld0 14578	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
106	29, 30	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Mnd )
107	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ZZ )
108		fzelp1 10302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
109	108, 87	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> B e. CC )
110	109	fmpttd 5798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... j ) |-> B ) : ( M ... j ) --> CC )
111	28, 105, 106, 62, 107, 110	gsumfzcl 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC )
112	111, 100	addcld 8192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC )
113		oveq1 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) -> ( x + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) )
114		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
115		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) )
116	113, 114, 115	ovmpog 6151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC /\ ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
117	111, 100, 112, 116	syl3anc 1271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
118	89, 104, 117	3eqtrd 2266	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
119	118	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
120		fzsuc 10297	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
121	64, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
122	121	sumeq1d 11920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B )
123		nfv 1574	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ j e. ( M..^ N ) )
124		nfcsb1v 3158	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( j + 1 ) / k ]_ B
125	62, 107	fzfigd 10686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... j ) e. Fin )
126	107	peano2zd 9598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
127		fzp1nel 10332	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( j + 1 ) e. ( M ... j )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> -. ( j + 1 ) e. ( M ... j ) )
129		csbeq1a 3134	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
130	123, 124, 125, 126, 128, 109, 129, 100	fsumsplitsn 11964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
131	122, 130	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
133	59, 119, 132	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
134	133	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
135	134	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
136	135	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
137	9, 15, 21, 27, 57, 136	fzind2 10478	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
138	3, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   [_csb 3125   u. cun 3196   C_ wss 3198   {csn 3667   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   |` cres 4725   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   CCcc 8023   0cc0 8025   1c1 8026   + caddc 8028   <_ cle 8208   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236  ..^cfzo 10370   sum_csu 11907   gsum_g cgsu 13333   Mndcmnd 13492   Ringcrg 14002  ℂ_fldccnfld 14563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-dec 9605  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-ihash 11031  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-clim 11833  df-sumdc 11908  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-starv 13168  df-tset 13172  df-ple 13173  df-ds 13175  df-unif 13176  df-0g 13334  df-igsum 13335  df-topgen 13336  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493  df-grp 13579  df-minusg 13580  df-mulg 13700  df-cmn 13866  df-mgp 13927  df-ring 14004  df-cring 14005  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-fg 14556  df-metu 14557  df-cnfld 14564

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14595