Theorem gsumfzfsumlemm 14516

Description: Lemma for gsumfzfsum 14517. The case where the sum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumfzfsumlemm.b	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlemm

Dummy variables j w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsumlemm.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10196	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... M ) |-> B ) )
6	5	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = M -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) )
7	4	sumeq1d 11843	. . . . 5 |- ( w = M -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
8	6, 7	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = M -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) ) )
10		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
11	10	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
12	11	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = j -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
13	10	sumeq1d 11843	. . . . 5 |- ( w = j -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... j ) B )
14	12, 13	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = j -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) ) )
16		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
17	16	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) )
18	17	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) )
19	16	sumeq1d 11843	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
20	18, 19	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
22		oveq2 5982	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
23	22	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... N ) |-> B ) )
24	23	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( w = N -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) )
25	22	sumeq1d 11843	. . . . 5 |- ( w = N -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
26	24, 25	eqeq12d 2224	. . . 4 |- ( w = N -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) ) )
28		cnfldbas 14489	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
29		cnring 14499	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
30		ringmnd 13935	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
31	29, 30	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
32		eluzel2 9695	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
34		eluzfz1 10195	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
36		gsumfzfsumlemm.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2583	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) B e. CC )
38		nfcsb1v 3137	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ M / k ]_ B
39	38	nfel1 2363	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ M / k ]_ B e. CC
40		csbeq1a 3113	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> B = [_ M / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2278	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( B e. CC <-> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2881	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) B e. CC -> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
43	35, 37, 42	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ M / k ]_ B e. CC )
44	40	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> B = [_ M / k ]_ B )
45		nfv 1554	. . . . . 6 |- F/ k ph
46	28, 31, 33, 43, 44, 45, 38	gsumfzsnfd 13848	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) = [_ M / k ]_ B )
47		fzsn 10230	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
48	33, 47	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
49	48	mpteq1d 4148	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> B ) = ( k e. { M } |-> B ) )
50	49	oveq2d 5990	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) )
51	47	sumeq1d 11843	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
52	33, 51	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
53		sumsns 11892	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
54	33, 43, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
55	52, 54	eqtrd 2242	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = [_ M / k ]_ B )
56	46, 50, 55	3eqtr4d 2252	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
58		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B )
59	58	oveq1d 5989	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
60		mpocnfldadd 14490	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )
61	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Ring )
62	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
63		elfzouz 10315	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ph )
66	65, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
67		elfzoel2 10310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzelz 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
71		elfzle1 10191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> M <_ k )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M <_ k )
73	70	zred 9537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. RR )
74		elfzoelz 10311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ZZ )
75	74	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
76	75	peano2zd 9540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
77	76	zred 9537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
78	68	zred 9537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. RR )
79		elfzle2 10192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
81		fzofzp1 10400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
83		elfzle2 10192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( j + 1 ) <_ N )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ N )
85	73, 77, 78, 80, 84	letrd 8238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ N )
86	66, 68, 70, 72, 85	elfzd 10180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
87	65, 86, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> B e. CC )
88	87	fmpttd 5763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> CC )
89	28, 60, 61, 62, 64, 88	gsumsplit1r 13397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) )
90		fzssp1 10231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
91		resmpt 5029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
92	90, 91	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
93	92	oveq2d 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
94		peano2uz 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
95	63, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		eluzfz2 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
99		rspcsbela 3164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) /\ A. k e. ( M ... N ) B e. CC ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
100	81, 37, 99	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
101		eqid 2209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B )
102	101	fvmpts 5685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
103	98, 100, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
104	93, 103	oveq12d 5992	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
105		cnfld0 14500	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
106	29, 30	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Mnd )
107	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ZZ )
108		fzelp1 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
109	108, 87	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> B e. CC )
110	109	fmpttd 5763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... j ) |-> B ) : ( M ... j ) --> CC )
111	28, 105, 106, 62, 107, 110	gsumfzcl 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC )
112	111, 100	addcld 8134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC )
113		oveq1 5981	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) -> ( x + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) )
114		oveq2 5982	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
115		eqid 2209	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) )
116	113, 114, 115	ovmpog 6110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC /\ ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
117	111, 100, 112, 116	syl3anc 1252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
118	89, 104, 117	3eqtrd 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
119	118	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
120		fzsuc 10233	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
121	64, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
122	121	sumeq1d 11843	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B )
123		nfv 1554	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ j e. ( M..^ N ) )
124		nfcsb1v 3137	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( j + 1 ) / k ]_ B
125	62, 107	fzfigd 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... j ) e. Fin )
126	107	peano2zd 9540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
127		fzp1nel 10268	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( j + 1 ) e. ( M ... j )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> -. ( j + 1 ) e. ( M ... j ) )
129		csbeq1a 3113	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
130	123, 124, 125, 126, 128, 109, 129, 100	fsumsplitsn 11887	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
131	122, 130	eqtrd 2242	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
133	59, 119, 132	3eqtr4d 2252	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
134	133	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
135	134	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
136	135	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
137	9, 15, 21, 27, 57, 136	fzind2 10412	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
138	3, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1375   e. wcel 2180   A.wral 2488   [_csb 3104   u. cun 3175   C_ wss 3177   {csn 3646   class class class wbr 4062   |-> cmpt 4124   |` cres 4698   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   e. cmpo 5976   CCcc 7965   0cc0 7967   1c1 7968   + caddc 7970   <_ cle 8150   ZZcz 9414   ZZ>=cuz 9690   ...cfz 10172  ..^cfzo 10306   sum_csu 11830   gsum_g cgsu 13256   Mndcmnd 13415   Ringcrg 13925  ℂ_fldccnfld 14485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087  ax-addf 8089  ax-mulf 8090

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-sumdc 11831  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-starv 13091  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-unif 13099  df-0g 13257  df-igsum 13258  df-topgen 13259  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-mulg 13623  df-cmn 13789  df-mgp 13850  df-ring 13927  df-cring 13928  df-bl 14475  df-mopn 14476  df-fg 14478  df-metu 14479  df-cnfld 14486

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14517