Theorem gsumfzfsumlemm 14847

Description: Lemma for gsumfzfsum 14848. The case where the sum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumfzfsumlemm.b	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlemm

Dummy variables j w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsumlemm.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10386	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	mpteq1d 4200	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... M ) |-> B ) )
6	5	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = M -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) )
7	4	sumeq1d 12076	. . . . 5 |- ( w = M -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
8	6, 7	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( w = M -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) ) )
10		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
11	10	mpteq1d 4200	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
12	11	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = j -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
13	10	sumeq1d 12076	. . . . 5 |- ( w = j -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... j ) B )
14	12, 13	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( w = j -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) ) )
16		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
17	16	mpteq1d 4200	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) )
18	17	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) )
19	16	sumeq1d 12076	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
20	18, 19	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
22		oveq2 6066	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
23	22	mpteq1d 4200	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... N ) |-> B ) )
24	23	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( w = N -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) )
25	22	sumeq1d 12076	. . . . 5 |- ( w = N -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
26	24, 25	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( w = N -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) ) )
28		cnfldbas 14820	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
29		cnring 14830	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
30		ringmnd 14234	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
31	29, 30	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
32		eluzel2 9876	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
34		eluzfz1 10385	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
36		gsumfzfsumlemm.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) B e. CC )
38		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ M / k ]_ B
39	38	nfel1 2397	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ M / k ]_ B e. CC
40		csbeq1a 3150	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> B = [_ M / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( B e. CC <-> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2917	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) B e. CC -> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
43	35, 37, 42	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ M / k ]_ B e. CC )
44	40	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> B = [_ M / k ]_ B )
45		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ k ph
46	28, 31, 33, 43, 44, 45, 38	gsumfzsnfd 14146	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) = [_ M / k ]_ B )
47		fzsn 10421	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
48	33, 47	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
49	48	mpteq1d 4200	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> B ) = ( k e. { M } |-> B ) )
50	49	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) )
51	47	sumeq1d 12076	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
52	33, 51	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
53		sumsns 12126	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
54	33, 43, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
55	52, 54	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = [_ M / k ]_ B )
56	46, 50, 55	3eqtr4d 2277	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
58		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B )
59	58	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
60		mpocnfldadd 14821	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )
61	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Ring )
62	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
63		elfzouz 10507	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ph )
66	65, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
67		elfzoel2 10502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
71		elfzle1 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> M <_ k )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M <_ k )
73	70	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. RR )
74		elfzoelz 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ZZ )
75	74	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
76	75	peano2zd 9721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
77	76	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
78	68	zred 9718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. RR )
79		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
81		fzofzp1 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
83		elfzle2 10382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( j + 1 ) <_ N )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ N )
85	73, 77, 78, 80, 84	letrd 8413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ N )
86	66, 68, 70, 72, 85	elfzd 10369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
87	65, 86, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> B e. CC )
88	87	fmpttd 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> CC )
89	28, 60, 61, 62, 64, 88	gsumsplit1r 13695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) )
90		fzssp1 10422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
91		resmpt 5091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
92	90, 91	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
93	92	oveq2d 6074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
94		peano2uz 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
95	63, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		eluzfz2 10386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
99		rspcsbela 3201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) /\ A. k e. ( M ... N ) B e. CC ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
100	81, 37, 99	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
101		eqid 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B )
102	101	fvmpts 5760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
103	98, 100, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
104	93, 103	oveq12d 6076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
105		cnfld0 14831	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
106	29, 30	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Mnd )
107	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ZZ )
108		fzelp1 10430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
109	108, 87	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> B e. CC )
110	109	fmpttd 5837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... j ) |-> B ) : ( M ... j ) --> CC )
111	28, 105, 106, 62, 107, 110	gsumfzcl 13796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC )
112	111, 100	addcld 8309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC )
113		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) -> ( x + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) )
114		oveq2 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
115		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) )
116	113, 114, 115	ovmpog 6196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC /\ ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
117	111, 100, 112, 116	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
118	89, 104, 117	3eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
119	118	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
120		fzsuc 10424	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
121	64, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
122	121	sumeq1d 12076	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B )
123		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ j e. ( M..^ N ) )
124		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( j + 1 ) / k ]_ B
125	62, 107	fzfigd 10817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... j ) e. Fin )
126	107	peano2zd 9721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
127		fzp1nel 10460	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( j + 1 ) e. ( M ... j )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> -. ( j + 1 ) e. ( M ... j ) )
129		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
130	123, 124, 125, 126, 128, 109, 129, 100	fsumsplitsn 12121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
131	122, 130	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
133	59, 119, 132	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
134	133	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
135	134	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
136	135	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
137	9, 15, 21, 27, 57, 136	fzind2 10607	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
138	3, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   [_csb 3141   u. cun 3212   C_ wss 3214   {csn 3694   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   |` cres 4756   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   <_ cle 8325   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498   sum_csu 12063   gsum_g cgsu 13554   Mndcmnd 13713   Ringcrg 14224  ℂ_fldccnfld 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-starv 13389  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-unif 13397  df-0g 13555  df-igsum 13556  df-topgen 13557  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-mulg 13921  df-cmn 14087  df-mgp 14149  df-ring 14226  df-cring 14227  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-fg 14809  df-metu 14810  df-cnfld 14817

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14848