Theorem gsumfzfsumlemm 14143

Description: Lemma for gsumfzfsum 14144. The case where the sum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumfzfsumlemm.b	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlemm

Dummy variables j w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsumlemm.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10107	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	mpteq1d 4118	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... M ) |-> B ) )
6	5	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = M -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) )
7	4	sumeq1d 11531	. . . . 5 |- ( w = M -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
8	6, 7	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( w = M -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) ) )
10		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
11	10	mpteq1d 4118	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
12	11	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = j -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
13	10	sumeq1d 11531	. . . . 5 |- ( w = j -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... j ) B )
14	12, 13	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( w = j -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) ) )
16		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
17	16	mpteq1d 4118	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) )
18	17	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) )
19	16	sumeq1d 11531	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
20	18, 19	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
22		oveq2 5930	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
23	22	mpteq1d 4118	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... N ) |-> B ) )
24	23	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( w = N -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) )
25	22	sumeq1d 11531	. . . . 5 |- ( w = N -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
26	24, 25	eqeq12d 2211	. . . 4 |- ( w = N -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) ) )
28		cnfldbas 14116	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
29		cnring 14126	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
30		ringmnd 13562	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
31	29, 30	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
32		eluzel2 9606	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
34		eluzfz1 10106	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
36		gsumfzfsumlemm.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) B e. CC )
38		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ M / k ]_ B
39	38	nfel1 2350	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ M / k ]_ B e. CC
40		csbeq1a 3093	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> B = [_ M / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( B e. CC <-> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2862	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) B e. CC -> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
43	35, 37, 42	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ M / k ]_ B e. CC )
44	40	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> B = [_ M / k ]_ B )
45		nfv 1542	. . . . . 6 |- F/ k ph
46	28, 31, 33, 43, 44, 45, 38	gsumfzsnfd 13475	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) = [_ M / k ]_ B )
47		fzsn 10141	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
48	33, 47	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
49	48	mpteq1d 4118	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> B ) = ( k e. { M } |-> B ) )
50	49	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) )
51	47	sumeq1d 11531	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
52	33, 51	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
53		sumsns 11580	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
54	33, 43, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
55	52, 54	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = [_ M / k ]_ B )
56	46, 50, 55	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
58		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B )
59	58	oveq1d 5937	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
60		mpocnfldadd 14117	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )
61	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Ring )
62	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
63		elfzouz 10226	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ph )
66	65, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
67		elfzoel2 10221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzelz 10100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
71		elfzle1 10102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> M <_ k )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M <_ k )
73	70	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. RR )
74		elfzoelz 10222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ZZ )
75	74	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
76	75	peano2zd 9451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
77	76	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
78	68	zred 9448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. RR )
79		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
81		fzofzp1 10303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
83		elfzle2 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( j + 1 ) <_ N )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ N )
85	73, 77, 78, 80, 84	letrd 8150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ N )
86	66, 68, 70, 72, 85	elfzd 10091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
87	65, 86, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> B e. CC )
88	87	fmpttd 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> CC )
89	28, 60, 61, 62, 64, 88	gsumsplit1r 13041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) )
90		fzssp1 10142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
91		resmpt 4994	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
92	90, 91	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
93	92	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
94		peano2uz 9657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
95	63, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		eluzfz2 10107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
99		rspcsbela 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) /\ A. k e. ( M ... N ) B e. CC ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
100	81, 37, 99	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
101		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B )
102	101	fvmpts 5639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
103	98, 100, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
104	93, 103	oveq12d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
105		cnfld0 14127	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
106	29, 30	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Mnd )
107	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ZZ )
108		fzelp1 10149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
109	108, 87	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> B e. CC )
110	109	fmpttd 5717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... j ) |-> B ) : ( M ... j ) --> CC )
111	28, 105, 106, 62, 107, 110	gsumfzcl 13131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC )
112	111, 100	addcld 8046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC )
113		oveq1 5929	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) -> ( x + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) )
114		oveq2 5930	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
115		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) )
116	113, 114, 115	ovmpog 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC /\ ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
117	111, 100, 112, 116	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
118	89, 104, 117	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
119	118	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
120		fzsuc 10144	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
121	64, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
122	121	sumeq1d 11531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B )
123		nfv 1542	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ j e. ( M..^ N ) )
124		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( j + 1 ) / k ]_ B
125	62, 107	fzfigd 10523	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... j ) e. Fin )
126	107	peano2zd 9451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
127		fzp1nel 10179	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( j + 1 ) e. ( M ... j )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> -. ( j + 1 ) e. ( M ... j ) )
129		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
130	123, 124, 125, 126, 128, 109, 129, 100	fsumsplitsn 11575	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
131	122, 130	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
133	59, 119, 132	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
134	133	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
135	134	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
136	135	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
137	9, 15, 21, 27, 57, 136	fzind2 10315	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
138	3, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   [_csb 3084   u. cun 3155   C_ wss 3157   {csn 3622   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   |` cres 4665   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   <_ cle 8062   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083  ..^cfzo 10217   sum_csu 11518   gsum_g cgsu 12928   Mndcmnd 13057   Ringcrg 13552  ℂ_fldccnfld 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-igsum 12930  df-topgen 12931  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-mulg 13250  df-cmn 13416  df-mgp 13477  df-ring 13554  df-cring 13555  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14144