Theorem gsumfzfsumlemm 14604

Description: Lemma for gsumfzfsum 14605. The case where the sum is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumfzfsumlemm.b	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzfsumlemm	|- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem gsumfzfsumlemm

Dummy variables j w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumfzfsumlemm.n	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 10267	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( M ... w ) = ( M ... M ) )
5	4	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... M ) |-> B ) )
6	5	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = M -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) )
7	4	sumeq1d 11928	. . . . 5 |- ( w = M -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
8	6, 7	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = M -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) ) )
10		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = j -> ( M ... w ) = ( M ... j ) )
11	10	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = j -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
12	11	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = j -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
13	10	sumeq1d 11928	. . . . 5 |- ( w = j -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... j ) B )
14	12, 13	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = j -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = j -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) ) )
16		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( M ... w ) = ( M ... ( j + 1 ) ) )
17	16	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) )
18	17	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) )
19	16	sumeq1d 11928	. . . . 5 |- ( w = ( j + 1 ) -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
20	18, 19	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
21	20	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
22		oveq2 6026	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( M ... w ) = ( M ... N ) )
23	22	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( k e. ( M ... w ) |-> B ) = ( k e. ( M ... N ) |-> B ) )
24	23	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( w = N -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) )
25	22	sumeq1d 11928	. . . . 5 |- ( w = N -> sum_ k e. ( M ... w ) B = sum_ k e. ( M ... N ) B )
26	24, 25	eqeq12d 2246	. . . 4 |- ( w = N -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B <-> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
27	26	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... w ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... w ) B ) <-> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) ) )
28		cnfldbas 14577	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
29		cnring 14587	. . . . . . 7 |- ℂfld e. Ring
30		ringmnd 14022	. . . . . . 7 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
31	29, 30	mp1i 10	. . . . . 6 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
32		eluzel2 9760	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
33	1, 32	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
34		eluzfz1 10266	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
35	1, 34	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
36		gsumfzfsumlemm.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) B e. CC )
38		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ M / k ]_ B
39	38	nfel1 2385	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ M / k ]_ B e. CC
40		csbeq1a 3136	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> B = [_ M / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( B e. CC <-> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
42	39, 41	rspc 2904	. . . . . . 7 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) B e. CC -> [_ M / k ]_ B e. CC ) )
43	35, 37, 42	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ph -> [_ M / k ]_ B e. CC )
44	40	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = M ) -> B = [_ M / k ]_ B )
45		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ k ph
46	28, 31, 33, 43, 44, 45, 38	gsumfzsnfd 13934	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) = [_ M / k ]_ B )
47		fzsn 10301	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
48	33, 47	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ... M ) = { M } )
49	48	mpteq1d 4174	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. ( M ... M ) |-> B ) = ( k e. { M } |-> B ) )
50	49	oveq2d 6034	. . . . 5 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. { M } |-> B ) ) )
51	47	sumeq1d 11928	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
52	33, 51	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. { M } B )
53		sumsns 11978	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ [_ M / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
54	33, 43, 53	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. { M } B = [_ M / k ]_ B )
55	52, 54	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = [_ M / k ]_ B )
56	46, 50, 55	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B )
57	56	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... M ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
58		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B )
59	58	oveq1d 6033	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
60		mpocnfldadd 14578	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( +g ` ℂfld )
61	29	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Ring )
62	33	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> M e. ZZ )
63		elfzouz 10386	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ph )
66	65, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M e. ZZ )
67		elfzoel2 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
68	67	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. ZZ )
69		elfzelz 10260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k e. ZZ )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
71		elfzle1 10262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> M <_ k )
72	71	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> M <_ k )
73	70	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. RR )
74		elfzoelz 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( M..^ N ) -> j e. ZZ )
75	74	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> j e. ZZ )
76	75	peano2zd 9605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
77	76	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
78	68	zred 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> N e. RR )
79		elfzle2 10263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ ( j + 1 ) )
81		fzofzp1 10473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... N ) )
83		elfzle2 10263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( j + 1 ) <_ N )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> ( j + 1 ) <_ N )
85	73, 77, 78, 80, 84	letrd 8303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k <_ N )
86	66, 68, 70, 72, 85	elfzd 10251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> k e. ( M ... N ) )
87	65, 86, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) ) -> B e. CC )
88	87	fmpttd 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) : ( M ... ( j + 1 ) ) --> CC )
89	28, 60, 61, 62, 64, 88	gsumsplit1r 13483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) )
90		fzssp1 10302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) )
91		resmpt 5061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M ... j ) C_ ( M ... ( j + 1 ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
92	90, 91	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) = ( k e. ( M ... j ) |-> B ) )
93	92	oveq2d 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) )
94		peano2uz 9817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
95	63, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
96	95	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97		eluzfz2 10267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
99		rspcsbela 3187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... N ) /\ A. k e. ( M ... N ) B e. CC ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
100	81, 37, 99	syl2anr 290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC )
101		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) = ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B )
102	101	fvmpts 5724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j + 1 ) e. ( M ... ( j + 1 ) ) /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
103	98, 100, 102	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
104	93, 103	oveq12d 6036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) |` ( M ... j ) ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) ( ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ` ( j + 1 ) ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
105		cnfld0 14588	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
106	29, 30	mp1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ℂfld e. Mnd )
107	74	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> j e. ZZ )
108		fzelp1 10309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... j ) -> k e. ( M ... ( j + 1 ) ) )
109	108, 87	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ k e. ( M ... j ) ) -> B e. CC )
110	109	fmpttd 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( k e. ( M ... j ) |-> B ) : ( M ... j ) --> CC )
111	28, 105, 106, 62, 107, 110	gsumfzcl 13584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC )
112	111, 100	addcld 8199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC )
113		oveq1 6025	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) -> ( x + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) )
114		oveq2 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + y ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
115		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) = ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) )
116	113, 114, 115	ovmpog 6156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) e. CC /\ [_ ( j + 1 ) / k ]_ B e. CC /\ ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) e. CC ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
117	111, 100, 112, 116	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) ( x e. CC , y e. CC |-> ( x + y ) ) [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
118	89, 104, 117	3eqtrd 2268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
119	118	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
120		fzsuc 10304	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
121	64, 120	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... ( j + 1 ) ) = ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) )
122	121	sumeq1d 11928	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B )
123		nfv 1576	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ph /\ j e. ( M..^ N ) )
124		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ ( j + 1 ) / k ]_ B
125	62, 107	fzfigd 10694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( M ... j ) e. Fin )
126	107	peano2zd 9605	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
127		fzp1nel 10339	. . . . . . . . . . 11 |- -. ( j + 1 ) e. ( M ... j )
128	127	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> -. ( j + 1 ) e. ( M ... j ) )
129		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / k ]_ B )
130	123, 124, 125, 126, 128, 109, 129, 100	fsumsplitsn 11973	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( ( M ... j ) u. { ( j + 1 ) } ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
131	122, 130	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
132	131	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B = ( sum_ k e. ( M ... j ) B + [_ ( j + 1 ) / k ]_ B ) )
133	59, 119, 132	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) /\ (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B )
134	133	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( M..^ N ) ) -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) )
135	134	expcom 116	. . . 4 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
136	135	a2d 26	. . 3 |- ( j e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... j ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... j ) B ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... ( j + 1 ) ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... ( j + 1 ) ) B ) ) )
137	9, 15, 21, 27, 57, 136	fzind2 10486	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B ) )
138	3, 137	mpcom 36	1 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> B ) ) = sum_ k e. ( M ... N ) B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   [_csb 3127   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   |` cres 4727   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   e. cmpo 6020   CCcc 8030   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   <_ cle 8215   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377   sum_csu 11915   gsum_g cgsu 13342   Mndcmnd 13501   Ringcrg 14012  ℂ_fldccnfld 14573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-sumdc 11916  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-starv 13177  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-unif 13185  df-0g 13343  df-igsum 13344  df-topgen 13345  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-mulg 13709  df-cmn 13875  df-mgp 13937  df-ring 14014  df-cring 14015  df-bl 14563  df-mopn 14564  df-fg 14566  df-metu 14567  df-cnfld 14574

This theorem is referenced by:  gsumfzfsum  14605