Theorem pfxccat3 11225

Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccat3	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = if ( N <_ L , ( A substr <. M , N >. ) , if ( L <_ M , ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) , ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		simplrl 535	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> M e. ( 0 ... N ) )
3		lencl 11035	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
4		elfznn0 10271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. NN0 )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> N e. NN0 )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
7		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- L = (♯ ` A )
8	7	breq2i 4067	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N <_ L <-> N <_ (♯ ` A ) )
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N <_ L -> N <_ (♯ ` A ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> N <_ (♯ ` A ) )
11		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) <-> ( N e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` A ) ) )
12	5, 6, 10, 11	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
13	12	exp31 364	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
15	3, 14	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
17	16	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
18	17	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
19	2, 18	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
20		swrdccatin1 11216	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( A substr <. M , N >. ) ) )
21	1, 19, 20	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( A substr <. M , N >. ) )
22		simp1l 1024	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
23	7	eleq1i 2273	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
24		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
25		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
27		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
28	27	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> N e. ZZ )
30		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
31	30	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> M e. ZZ )
33	26, 29, 32	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) /\ L <_ M ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
35		simpl3 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> M <_ N )
36	35	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) /\ L <_ M ) -> ( L <_ M /\ M <_ N ) )
37		elfz2 10172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( L ... N ) <-> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( L <_ M /\ M <_ N ) ) )
38	34, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) /\ L <_ M ) -> M e. ( L ... N ) )
39	38	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( L e. NN0 -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
40	24, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( L e. NN0 -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. NN0 -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
43	23, 42	sylbir 135	. . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
46	45	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) )
47	46	a1d 22	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
48	47	3imp 1196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> M e. ( L ... N ) )
49		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
50		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. ZZ )
51	7, 50	eqeltrid 2294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ZZ )
52	51	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> L e. ZZ )
53		nn0z 9427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
54	53	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
56	27	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. ZZ )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> N e. ZZ )
58	7	eqcomi 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (♯ ` A ) = L
59	58	eleq1i 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> L e. NN0 )
60		zltnle 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
61	25, 27, 60	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
62	61	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( -. N <_ L <-> L < N ) )
63		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
64		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
65		ltle 8195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. RR /\ N e. RR ) -> ( L < N -> L <_ N ) )
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( L < N -> L <_ N ) )
67	62, 66	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) ) )
69	59, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) ) )
70	69	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) ) )
71	70	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> L <_ N )
72		simpl3 1005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) )
73	52, 55, 57, 71, 72	elfzd 10173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
74	73	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
75	49, 74	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
77	3, 76	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
79	78	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
80	79	a1dd 48	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( L <_ M -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
81	80	3imp 1196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
82	48, 81	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> ( M e. ( L ... N ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
83	7	swrdccatin2 11220	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( L ... N ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) ) )
84	22, 82, 83	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) )
85		simp1l 1024	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
86	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
87		zltnle 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M < L <-> -. L <_ M ) )
88	86, 25, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M < L <-> -. L <_ M ) )
89	88	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. L <_ M <-> M < L ) )
90		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> M e. NN0 )
91		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> L e. NN0 )
92		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
93		ltle 8195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L -> M <_ L ) )
94	92, 63, 93	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> M <_ L ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> M <_ L )
96		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
97	90, 91, 95, 96	syl3anbrc 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> M e. ( 0 ... L ) )
98	97	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
100	99	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M < L -> M e. ( 0 ... L ) ) )
101	89, 100	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) )
102	101	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
103	102	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( L e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
104	24, 103	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( L e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
105	59, 104	biimtrid 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
106	105	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
107	3, 106	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
109	108	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) )
110	109	a1d 22	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
111	110	3imp 1196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> M e. ( 0 ... L ) )
112	60	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N <_ L <-> L < N ) )
113	25, 56, 112	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L <-> L < N ) )
114	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> L e. ZZ )
115	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
116	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> N e. ZZ )
117	114, 115, 116	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
119	64	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. RR )
120	63, 119, 65	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L < N -> L <_ N ) )
121	120	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> L <_ N )
122		simplr3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) )
123	121, 122	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
124		elfz2 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
125	118, 123, 124	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
126	125	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L < N -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
127	113, 126	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
128	127	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
129	59, 128	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
130	3, 129	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
131	130	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
132	131	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
133	49, 132	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
134	133	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
135	134	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
136	135	a1dd 48	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( -. L <_ M -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
137	136	3imp 1196	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
138	111, 137	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
139	7	pfxccatin12 11224	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
140	85, 138, 139	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
141		elfzelz 10182	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. ZZ )
142	141	ad2antll 491	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> N e. ZZ )
143	3, 51	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Word V -> L e. ZZ )
144	143	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. ZZ )
145		zdcle 9484	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID N <_ L )
146	142, 144, 145	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> DECID N <_ L )
147	144	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L ) -> L e. ZZ )
148		elfzelz 10182	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
149	148	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. ZZ )
150	149	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L ) -> M e. ZZ )
151		zdcle 9484	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID L <_ M )
152	147, 150, 151	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L ) -> DECID L <_ M )
153	21, 84, 140, 146, 152	2if2dc 3619	. 2 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = if ( N <_ L , ( A substr <. M , N >. ) , if ( L <_ M , ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) , ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
154	153	ex 115	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = if ( N <_ L , ( A substr <. M , N >. ) , if ( L <_ M , ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) , ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ifcif 3579   <.cop 3646   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ...cfz 10165  ♯chash 10957  Word cword 11031   ++ cconcat 11084   substr csubstr 11136   prefix cpfx 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-concat 11085  df-substr 11137  df-pfx 11164

This theorem is referenced by:  swrdccat  11226  swrdccat3b  11231