Theorem pfxccat3 11305

Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccat3	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = if ( N <_ L , ( A substr <. M , N >. ) , if ( L <_ M , ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) , ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		simplrl 535	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> M e. ( 0 ... N ) )
3		lencl 11107	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
4		elfznn0 10339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. NN0 )
5	4	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> N e. NN0 )
6		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> (♯ ` A ) e. NN0 )
7		swrdccatin2.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- L = (♯ ` A )
8	7	breq2i 4094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N <_ L <-> N <_ (♯ ` A ) )
9	8	biimpi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N <_ L -> N <_ (♯ ` A ) )
10	9	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> N <_ (♯ ` A ) )
11		elfz2nn0 10337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) <-> ( N e. NN0 /\ (♯ ` A ) e. NN0 /\ N <_ (♯ ` A ) ) )
12	5, 6, 10, 11	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ (♯ ` A ) e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
13	12	exp31 364	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
15	3, 14	syl5com 29	. . . . . . . 8 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) ) )
17	16	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N <_ L -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
18	17	imp 124	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
19	2, 18	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
20		swrdccatin1 11296	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( A substr <. M , N >. ) ) )
21	1, 19, 20	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( A substr <. M , N >. ) )
22		simp1l 1045	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
23	7	eleq1i 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. NN0 )
24		elfz2nn0 10337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
25		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
27		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
28	27	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> N e. ZZ )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> N e. ZZ )
30		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
31	30	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> M e. ZZ )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> M e. ZZ )
33	26, 29, 32	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) /\ L <_ M ) -> ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
35		simpl3 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) -> M <_ N )
36	35	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) /\ L <_ M ) -> ( L <_ M /\ M <_ N ) )
37		elfz2 10240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ( L ... N ) <-> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( L <_ M /\ M <_ N ) ) )
38	34, 36, 37	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) /\ L e. NN0 ) /\ L <_ M ) -> M e. ( L ... N ) )
39	38	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( L e. NN0 -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
40	24, 39	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( L e. NN0 -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. NN0 -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
42	41	com12 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
43	23, 42	sylbir 135	. . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
46	45	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) )
47	46	a1d 22	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( L <_ M -> M e. ( L ... N ) ) ) )
48	47	3imp 1217	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> M e. ( L ... N ) )
49		elfz2nn0 10337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
50		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. ZZ )
51	7, 50	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ZZ )
52	51	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> L e. ZZ )
53		nn0z 9489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
54	53	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
56	27	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. ZZ )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> N e. ZZ )
58	7	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (♯ ` A ) = L
59	58	eleq1i 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> L e. NN0 )
60		zltnle 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
61	25, 27, 60	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
62	61	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( -. N <_ L <-> L < N ) )
63		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
64		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
65		ltle 8257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. RR /\ N e. RR ) -> ( L < N -> L <_ N ) )
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( L < N -> L <_ N ) )
67	62, 66	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) )
68	67	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) ) )
69	59, 68	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) ) )
70	69	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> L <_ N ) ) )
71	70	imp32 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> L <_ N )
72		simpl3 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) )
73	52, 55, 57, 71, 72	elfzd 10241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) /\ ( (♯ ` A ) e. NN0 /\ -. N <_ L ) ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
74	73	exp32 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
75	49, 74	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
77	3, 76	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
78	77	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
79	78	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
80	79	a1dd 48	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( L <_ M -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
81	80	3imp 1217	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
82	48, 81	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> ( M e. ( L ... N ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
83	7	swrdccatin2 11300	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( L ... N ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) ) )
84	22, 82, 83	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ L <_ M ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) )
85		simp1l 1045	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
86	30	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> M e. ZZ )
87		zltnle 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( M < L <-> -. L <_ M ) )
88	86, 25, 87	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M < L <-> -. L <_ M ) )
89	88	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. L <_ M <-> M < L ) )
90		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> M e. NN0 )
91		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> L e. NN0 )
92		nn0re 9401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
93		ltle 8257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M < L -> M <_ L ) )
94	92, 63, 93	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> M <_ L ) )
95	94	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> M <_ L )
96		elfz2nn0 10337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
97	90, 91, 95, 96	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ M < L ) -> M e. ( 0 ... L ) )
98	97	exp31 364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
99	98	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L e. NN0 -> ( M < L -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
100	99	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M < L -> M e. ( 0 ... L ) ) )
101	89, 100	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) )
102	101	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
103	102	3adant3 1041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( L e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
104	24, 103	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( L e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
105	59, 104	biimtrid 152	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
106	105	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
107	3, 106	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
108	107	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
109	108	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) )
110	109	a1d 22	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( -. L <_ M -> M e. ( 0 ... L ) ) ) )
111	110	3imp 1217	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> M e. ( 0 ... L ) )
112	60	bicomd 141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. N <_ L <-> L < N ) )
113	25, 56, 112	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L <-> L < N ) )
114	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> L e. ZZ )
115	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ )
116	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> N e. ZZ )
117	114, 115, 116	3jca 1201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
119	64	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. RR )
120	63, 119, 65	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L < N -> L <_ N ) )
121	120	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> L <_ N )
122		simplr3 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) )
123	121, 122	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
124		elfz2 10240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
125	118, 123, 124	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) /\ L < N ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
126	125	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L < N -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
127	113, 126	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
128	127	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
129	59, 128	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
130	3, 129	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
131	130	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
132	131	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. NN0 /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
133	49, 132	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
134	133	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
135	134	impcom 125	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
136	135	a1dd 48	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( -. N <_ L -> ( -. L <_ M -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) )
137	136	3imp 1217	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) )
138	111, 137	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
139	7	pfxccatin12 11304	. . . 4 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
140	85, 138, 139	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L /\ -. L <_ M ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
141		elfzelz 10250	. . . . 5 |- ( N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> N e. ZZ )
142	141	ad2antll 491	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> N e. ZZ )
143	3, 51	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. Word V -> L e. ZZ )
144	143	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. ZZ )
145		zdcle 9546	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> DECID N <_ L )
146	142, 144, 145	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> DECID N <_ L )
147	144	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L ) -> L e. ZZ )
148		elfzelz 10250	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
149	148	ad2antrl 490	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. ZZ )
150	149	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L ) -> M e. ZZ )
151		zdcle 9546	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID L <_ M )
152	147, 150, 151	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ -. N <_ L ) -> DECID L <_ M )
153	21, 84, 140, 146, 152	2if2dc 3643	. 2 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = if ( N <_ L , ( A substr <. M , N >. ) , if ( L <_ M , ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) , ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )
154	153	ex 115	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) = if ( N <_ L , ( A substr <. M , N >. ) , if ( L <_ M , ( B substr <. ( M - L ) , ( N - L ) >. ) , ( ( A substr <. M , L >. ) ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ifcif 3603   <.cop 3670   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   ...cfz 10233  ♯chash 11027  Word cword 11103   ++ cconcat 11157   substr csubstr 11216   prefix cpfx 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-concat 11158  df-substr 11217  df-pfx 11244

This theorem is referenced by:  swrdccat  11306  swrdccat3b  11311