Theorem elfzoel1 10211

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoel1

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10209	. 2 |- ..^ = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> ( m ... ( n - 1 ) ) )
2	1	elmpocl1 6114	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   1c1 7873   - cmin 8190   ZZcz 9317   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10213  fzoval  10214  elfzo2  10216  elfzole1  10222  elfzolt2  10223  elfzolt3  10224  elfzolt3b  10226  fzospliti  10243  fzoaddel  10259  fzosubel  10261  fzosubel3  10263  fzofzp1  10294  fzostep1  10304  fzomaxdiflem  11256  fzocongeq  12000