ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Unicode version
Theorem fzomaxdiflem 11277
Description: Lemma for fzomaxdif 11278. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10222 . . . . . . 7 |- ( B e. ( C..^ D ) -> B e. ZZ )
21adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B e. ZZ )
3 elfzoelz 10222 . . . . . . 7 |- ( A e. ( C..^ D ) -> A e. ZZ )
43adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> A e. ZZ )
52, 4zsubcld 9453 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) e. ZZ )
65zred 9448 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) e. RR )
76adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. RR )
82zred 9448 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B e. RR )
94zred 9448 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> A e. RR )
108, 9subge0d 8562 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
1110biimpar 297 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( B - A ) )
12 absid 11236 . . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 <_ ( B - A ) ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) )
137, 11, 12syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) )
14 elfzoel1 10220 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( C..^ D ) -> C e. ZZ )
1514adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C e. ZZ )
1615zred 9448 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C e. RR )
178, 16resubcld 8407 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - C ) e. RR )
18 elfzoel2 10221 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( C..^ D ) -> D e. ZZ )
1918adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> D e. ZZ )
2019, 15zsubcld 9453 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( D - C ) e. ZZ )
2120zred 9448 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( D - C ) e. RR )
22 elfzole1 10231 . . . . . . 7 |- ( A e. ( C..^ D ) -> C <_ A )
2322adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C <_ A )
2416, 9, 8, 23lesub2dd 8589 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) <_ ( B - C ) )
2519zred 9448 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> D e. RR )
26 elfzolt2 10232 . . . . . . 7 |- ( B e. ( C..^ D ) -> B < D )
2726adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B < D )
288, 25, 16, 27ltsub1dd 8584 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - C ) < ( D - C ) )
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 8151 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) < ( D - C ) )
3029adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) < ( D - C ) )
31 0zd 9338 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> 0 e. ZZ )
32 elfzo 10224 . . . . 5 |- ( ( ( B - A ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( D - C ) e. ZZ ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
335, 31, 20, 32syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
3433adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
3511, 30, 34mpbir2and 946 . 2 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
3613, 35eqeltrd 2273 1 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   < clt 8061   <_ cle 8062   - cmin 8197   ZZcz 9326  ..^cfzo 10217   abscabs 11162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  11278
  Copyright terms: Public domain W3C validator