ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Unicode version
Theorem fzomaxdiflem 11256
Description: Lemma for fzomaxdif 11257. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10213 . . . . . . 7 |- ( B e. ( C..^ D ) -> B e. ZZ )
21adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B e. ZZ )
3 elfzoelz 10213 . . . . . . 7 |- ( A e. ( C..^ D ) -> A e. ZZ )
43adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> A e. ZZ )
52, 4zsubcld 9444 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) e. ZZ )
65zred 9439 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) e. RR )
76adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. RR )
82zred 9439 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B e. RR )
94zred 9439 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> A e. RR )
108, 9subge0d 8554 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
1110biimpar 297 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( B - A ) )
12 absid 11215 . . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 <_ ( B - A ) ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) )
137, 11, 12syl2anc 411 . 2 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) )
14 elfzoel1 10211 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( C..^ D ) -> C e. ZZ )
1514adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C e. ZZ )
1615zred 9439 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C e. RR )
178, 16resubcld 8400 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - C ) e. RR )
18 elfzoel2 10212 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( C..^ D ) -> D e. ZZ )
1918adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> D e. ZZ )
2019, 15zsubcld 9444 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( D - C ) e. ZZ )
2120zred 9439 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( D - C ) e. RR )
22 elfzole1 10222 . . . . . . 7 |- ( A e. ( C..^ D ) -> C <_ A )
2322adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C <_ A )
2416, 9, 8, 23lesub2dd 8581 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) <_ ( B - C ) )
2519zred 9439 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> D e. RR )
26 elfzolt2 10223 . . . . . . 7 |- ( B e. ( C..^ D ) -> B < D )
2726adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B < D )
288, 25, 16, 27ltsub1dd 8576 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - C ) < ( D - C ) )
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 8144 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) < ( D - C ) )
3029adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) < ( D - C ) )
31 0zd 9329 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> 0 e. ZZ )
32 elfzo 10215 . . . . 5 |- ( ( ( B - A ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( D - C ) e. ZZ ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
335, 31, 20, 32syl3anc 1249 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
3433adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
3511, 30, 34mpbir2and 946 . 2 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
3613, 35eqeltrd 2270 1 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   RRcr 7871   0cc0 7872   < clt 8054   <_ cle 8055   - cmin 8190   ZZcz 9317  ..^cfzo 10208   abscabs 11141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  11257
  Copyright terms: Public domain W3C validator