ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzomaxdiflem Unicode version
Theorem fzomaxdiflem 11859
Description: Lemma for fzomaxdif 11860. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzomaxdiflem |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
Proof of Theorem fzomaxdiflem
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 10535 . . . . . . 7 |- ( B e. ( C..^ D ) -> B e. ZZ )
21adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B e. ZZ )
3 elfzoelz 10535 . . . . . . 7 |- ( A e. ( C..^ D ) -> A e. ZZ )
43adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> A e. ZZ )
52, 4zsubcld 9755 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) e. ZZ )
65zred 9750 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) e. RR )
76adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. RR )
82zred 9750 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B e. RR )
94zred 9750 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> A e. RR )
108, 9subge0d 8856 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( 0 <_ ( B - A ) <-> A <_ B ) )
1110biimpar 297 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> 0 <_ ( B - A ) )
12 absid 11818 . . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 <_ ( B - A ) ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) )
137, 11, 12syl2anc 415 . 2 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( B - A ) )
14 elfzoel1 10533 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( C..^ D ) -> C e. ZZ )
1514adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C e. ZZ )
1615zred 9750 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C e. RR )
178, 16resubcld 8701 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - C ) e. RR )
18 elfzoel2 10534 . . . . . . . 8 |- ( B e. ( C..^ D ) -> D e. ZZ )
1918adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> D e. ZZ )
2019, 15zsubcld 9755 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( D - C ) e. ZZ )
2120zred 9750 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( D - C ) e. RR )
22 elfzole1 10544 . . . . . . 7 |- ( A e. ( C..^ D ) -> C <_ A )
2322adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> C <_ A )
2416, 9, 8, 23lesub2dd 8883 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) <_ ( B - C ) )
2519zred 9750 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> D e. RR )
26 elfzolt2 10545 . . . . . . 7 |- ( B e. ( C..^ D ) -> B < D )
2726adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> B < D )
288, 25, 16, 27ltsub1dd 8878 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - C ) < ( D - C ) )
296, 17, 21, 24, 28lelttrd 8444 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( B - A ) < ( D - C ) )
3029adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) < ( D - C ) )
31 0zd 9638 . . . . 5 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> 0 e. ZZ )
32 elfzo 10537 . . . . 5 |- ( ( ( B - A ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( D - C ) e. ZZ ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
335, 31, 20, 32syl3anc 1278 . . . 4 |- ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
3433adantr 276 . . 3 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) <-> ( 0 <_ ( B - A ) /\ ( B - A ) < ( D - C ) ) ) )
3511, 30, 34mpbir2and 957 . 2 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
3613, 35eqeltrd 2315 1 |- ( ( ( A e. ( C..^ D ) /\ B e. ( C..^ D ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs ` ( B - A ) ) e. ( 0..^ ( D - C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   RRcr 8171   0cc0 8172   < clt 8353   <_ cle 8354   - cmin 8490   ZZcz 9626  ..^cfzo 10530   abscabs 11744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-mulrcl 8271  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-precex 8282  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288  ax-pre-mulgt0 8289  ax-pre-mulext 8290
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-reap 8896  df-ap 8903  df-div 8996  df-inn 9287  df-2 9345  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-fzo 10531  df-seqfrec 10866  df-exp 10957  df-cj 11588  df-re 11589  df-im 11590  df-rsqrt 11745  df-abs 11746
This theorem is referenced by:  fzomaxdif  11860
  Copyright terms: Public domain W3C validator