Theorem elfzolt2 9774

Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolt2	|- ( K e. ( M..^ N ) -> K < N )

Proof of Theorem elfzolt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 9765	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ZZ )
2		elfzoel1 9763	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
3		elfzoel2 9764	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
4		elfzo 9767	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1184	. . 3 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
6	5	ibi 175	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ K < N ) )
7	6	simprd 113	1 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K < N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706   < clt 7672   <_ cle 7673   ZZcz 8906  ..^cfzo 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-fzo 9761

This theorem is referenced by:  elfzolt3  9775  elfzolt2b  9776  fzonel  9778  elfzouz2  9779  fzonnsub  9787  fzospliti  9794  fzodisj  9796  fzouzdisj  9798  elfzo0  9800  elfzo1  9808  fzoaddel  9810  ssfzo12  9842  modaddmodup  10001  modaddmodlo  10002  iseqf1olemqk  10108  fzomaxdiflem  10724  fzo0dvdseq  11350  crth  11692  hashgcdlem  11695