Theorem elfzolt2 9498

Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolt2	|- ( K e. ( M..^ N ) -> K < N )

Proof of Theorem elfzolt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoelz 9489	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ZZ )
2		elfzoel1 9487	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
3		elfzoel2 9488	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
4		elfzo 9491	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1172	. . 3 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
6	5	ibi 174	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( M <_ K /\ K < N ) )
7	6	simprd 112	1 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K < N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1436   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615   < clt 7469   <_ cle 7470   ZZcz 8686  ..^cfzo 9484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-ltadd 7408

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-inn 8361  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-fz 9360  df-fzo 9485

This theorem is referenced by:  elfzolt3  9499  elfzolt2b  9500  fzonel  9502  elfzouz2  9503  fzonnsub  9511  fzospliti  9518  fzodisj  9520  fzouzdisj  9522  elfzo0  9524  elfzo1  9532  fzoaddel  9534  ssfzo12  9566  modaddmodup  9725  modaddmodlo  9726  iseqf1olemqk  9847  fzomaxdiflem  10462  fzo0dvdseq  10783  crth  11125  hashgcdlem  11128