Theorem fzofzp1 10162

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	|- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) )

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10080	. . . 4 |- ( C e. ( A..^ B ) -> A e. ZZ )
2		uzid 9480	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. ( ZZ>= ` A ) )
3		peano2uz 9521	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
4		fzoss1 10106	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) C_ ( A..^ ( B + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) C_ ( A..^ ( B + 1 ) ) )
6		1z 9217	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		fzoaddel 10127	. . . 4 |- ( ( C e. ( A..^ B ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( C + 1 ) e. ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 422	. . 3 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) )
9	5, 8	sseldd 3143	. 2 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A..^ ( B + 1 ) ) )
10		elfzoel2 10081	. . 3 |- ( C e. ( A..^ B ) -> B e. ZZ )
11		fzval3 10139	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( A ... B ) = ( A..^ ( B + 1 ) ) )
12	10, 11	syl 14	. 2 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( A ... B ) = ( A..^ ( B + 1 ) ) )
13	9, 12	eleqtrrd 2246	1 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   + caddc 7756   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  10163  exfzdc  10175  seq3clss  10402  seq3caopr3  10416  seq3caopr2  10417  seq3f1olemp  10437  seq3id3  10442  ser3ge0  10452  telfsumo  11407  telfsumo2  11408  fsumparts  11411  prodfap0  11486  prodfrecap  11487  eulerthlemrprm  12161  eulerthlema  12162