ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzole1 Unicode version

Theorem elfzole1 9487
Description: A member in a half-open integer interval is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzole1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )

Proof of Theorem elfzole1
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 9479 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  K  e.  ZZ )
2 elfzoel1 9477 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  e.  ZZ )
3 elfzoel2 9478 . . . 4  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ZZ )
4 elfzo 9481 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1172 . . 3  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( K  e.  ( M..^ N )  <-> 
( M  <_  K  /\  K  <  N ) ) )
65ibi 174 . 2  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  ( M  <_  K  /\  K  < 
N ) )
76simpld 110 1  |-  ( K  e.  ( M..^ N
)  ->  M  <_  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5607    < clt 7459    <_ cle 7460   ZZcz 8676  ..^cfzo 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3931  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-addcom 7382  ax-addass 7384  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-ltadd 7398
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4093  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-1st 5862  df-2nd 5863  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-inn 8351  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-fz 9350  df-fzo 9475
This theorem is referenced by:  elfzolt3  9489  fzospliti  9508  fzodisj  9510  fzoaddel  9524  ssfzo12  9556  modaddmodup  9715  modaddmodlo  9716  iseqf1olemqk  9820  fzomaxdiflem  10433  crth  11067
  Copyright terms: Public domain W3C validator