Theorem elfzoel1 10302

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel1	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel1

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fzo 10300	. 2 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
2	1	elmpocl1 6165	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178  (class class class)co 5967  1c1 7961   − cmin 8278  ℤcz 9407  ...cfz 10165  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  elfzoelz  10304  fzoval  10305  elfzo2  10307  elfzole1  10313  elfzolt2  10314  elfzolt3  10315  elfzolt3b  10317  fzospliti  10335  fzoaddel  10353  elincfzoext  10359  fzosubel  10360  fzosubel3  10362  fzofzp1  10393  fzostep1  10403  fzomaxdiflem  11538  fzocongeq  12284