Theorem fzostep1 10443

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10341	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		uzid 9736	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
3		peano2uz 9778	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
4		fzoss1 10369	. . . 4 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
6		1z 9472	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		fzoaddel 10393	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
9	5, 8	sseldd 3225	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) )
10		elfzoel2 10342	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
11		elfzolt3 10354	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B < C )
12		zre 9450	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
13		zre 9450	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
14		ltle 8234	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
16	1, 10, 15	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
17	11, 16	mpd 13	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ C )
18		eluz2 9728	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1205	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
20		fzosplitsni 10441	. . 3 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
22	9, 21	mpbid 147	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   RRcr 7998   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by: (None)