Theorem fzostep1 10118

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10026	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		uzid 9436	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
3		peano2uz 9477	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
4		fzoss1 10052	. . . 4 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
6		1z 9176	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		fzoaddel 10073	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
9	5, 8	sseldd 3129	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) )
10		elfzoel2 10027	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
11		elfzolt3 10038	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B < C )
12		zre 9154	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
13		zre 9154	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
14		ltle 7947	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
15	12, 13, 14	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
16	1, 10, 15	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
17	11, 16	mpd 13	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ C )
18		eluz2 9428	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1166	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
20		fzosplitsni 10116	. . 3 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
22	9, 21	mpbid 146	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   RRcr 7714   1c1 7716   + caddc 7718   < clt 7895   <_ cle 7896   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422  ..^cfzo 10023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-fz 9895  df-fzo 10024

This theorem is referenced by: (None)