Theorem fzostep1 10172

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10080	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		uzid 9480	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
3		peano2uz 9521	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
4		fzoss1 10106	. . . 4 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
6		1z 9217	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		fzoaddel 10127	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
9	5, 8	sseldd 3143	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) )
10		elfzoel2 10081	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
11		elfzolt3 10092	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B < C )
12		zre 9195	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
13		zre 9195	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
14		ltle 7986	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
15	12, 13, 14	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
16	1, 10, 15	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
17	11, 16	mpd 13	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ C )
18		eluz2 9472	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1171	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
20		fzosplitsni 10170	. . 3 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
22	9, 21	mpbid 146	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   RRcr 7752   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466  ..^cfzo 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by: (None)