Theorem fzostep1 10114

Description: Two possibilities for a number one greater than a number in a half-open range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzostep1	|- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Proof of Theorem fzostep1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10022	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		uzid 9432	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> B e. ( ZZ>= ` B ) )
3		peano2uz 9473	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` B ) -> ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) )
4		fzoss1 10048	. . . 4 |- ( ( B + 1 ) e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 18	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) C_ ( B..^ ( C + 1 ) ) )
6		1z 9172	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		fzoaddel 10069	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( ( B + 1 )..^ ( C + 1 ) ) )
9	5, 8	sseldd 3125	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) )
10		elfzoel2 10023	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
11		elfzolt3 10034	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B < C )
12		zre 9150	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
13		zre 9150	. . . . . . 7 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
14		ltle 7943	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
15	12, 13, 14	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
16	1, 10, 15	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B < C -> B <_ C ) )
17	11, 16	mpd 13	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ C )
18		eluz2 9424	. . . 4 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) <-> ( B e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B <_ C ) )
19	1, 10, 17, 18	syl3anbrc 1166	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
20		fzosplitsni 10112	. . 3 |- ( C e. ( ZZ>= ` B ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ ( C + 1 ) ) <-> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) ) )
22	9, 21	mpbid 146	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( ( A + 1 ) e. ( B..^ C ) \/ ( A + 1 ) = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 2125   C_ wss 3098   class class class wbr 3961   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   RRcr 7710   1c1 7712   + caddc 7714   < clt 7891   <_ cle 7892   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418  ..^cfzo 10019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-fzo 10020

This theorem is referenced by: (None)