ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoaddel Unicode version

Theorem fzoaddel 9999
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D ) ) )

Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9952 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
21adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 9196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoelz 9954 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
54adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
65zred 9196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
7 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
87zred 9196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
9 elfzole1 9962 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  <_  A )
109adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  <_  A )
113, 6, 8, 10leadd1dd 8344 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  D )  <_  ( A  +  D
) )
12 elfzoel2 9953 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
1312adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
1413zred 9196 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
15 elfzolt2 9963 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  <  C )
1615adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  <  C )
176, 14, 8, 16ltadd1dd 8341 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  <  ( C  +  D
) )
18 zaddcl 9117 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D
)  e.  ZZ )
194, 18sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  e.  ZZ )
20 zaddcl 9117 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  D
)  e.  ZZ )
211, 20sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  D )  e.  ZZ )
22 zaddcl 9117 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  D
)  e.  ZZ )
2312, 22sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  D )  e.  ZZ )
24 elfzo 9956 . . 3  |-  ( ( ( A  +  D
)  e.  ZZ  /\  ( B  +  D
)  e.  ZZ  /\  ( C  +  D
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  D )  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D ) )  <->  ( ( B  +  D )  <_  ( A  +  D
)  /\  ( A  +  D )  <  ( C  +  D )
) ) )
2519, 21, 23, 24syl3anc 1217 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  D
)  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D
) )  <->  ( ( B  +  D )  <_  ( A  +  D
)  /\  ( A  +  D )  <  ( C  +  D )
) ) )
2611, 17, 25mpbir2and 929 1  |-  ( ( A  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  +  D )  e.  ( ( B  +  D )..^ ( C  +  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781    + caddc 7646    < clt 7823    <_ cle 7824   ZZcz 9077  ..^cfzo 9949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950
This theorem is referenced by:  fzoaddel2  10000  fzosubel  10001  fzofzp1  10034  fzostep1  10044
  Copyright terms: Public domain W3C validator