ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoaddel Unicode version
Theorem fzoaddel 10148
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 10101 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
21adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
32zred 9334 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. RR )
4 elfzoelz 10103 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
54adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
65zred 9334 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. RR )
7 simpr 109 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
87zred 9334 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. RR )
9 elfzole1 10111 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
109adantr 274 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
113, 6, 8, 10leadd1dd 8478 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) <_ ( A + D ) )
12 elfzoel2 10102 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
1312adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
1413zred 9334 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. RR )
15 elfzolt2 10112 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
1615adantr 274 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
176, 14, 8, 16ltadd1dd 8475 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) < ( C + D ) )
18 zaddcl 9252 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
194, 18sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
20 zaddcl 9252 . . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
211, 20sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
22 zaddcl 9252 . . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
2312, 22sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
24 elfzo 10105 . . 3 |- ( ( ( A + D ) e. ZZ /\ ( B + D ) e. ZZ /\ ( C + D ) e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2519, 21, 23, 24syl3anc 1233 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2611, 17, 25mpbir2and 939 1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   + caddc 7777   < clt 7954   <_ cle 7955   ZZcz 9212  ..^cfzo 10098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099
This theorem is referenced by:  fzoaddel2  10149  fzosubel  10150  fzofzp1  10183  fzostep1  10193
  Copyright terms: Public domain W3C validator