ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoaddel Unicode version
Theorem fzoaddel 10127
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 10080 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
21adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
32zred 9313 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. RR )
4 elfzoelz 10082 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
54adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
65zred 9313 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. RR )
7 simpr 109 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
87zred 9313 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. RR )
9 elfzole1 10090 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
109adantr 274 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
113, 6, 8, 10leadd1dd 8457 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) <_ ( A + D ) )
12 elfzoel2 10081 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
1312adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
1413zred 9313 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. RR )
15 elfzolt2 10091 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
1615adantr 274 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
176, 14, 8, 16ltadd1dd 8454 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) < ( C + D ) )
18 zaddcl 9231 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
194, 18sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
20 zaddcl 9231 . . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
211, 20sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
22 zaddcl 9231 . . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
2312, 22sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
24 elfzo 10084 . . 3 |- ( ( ( A + D ) e. ZZ /\ ( B + D ) e. ZZ /\ ( C + D ) e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2519, 21, 23, 24syl3anc 1228 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2611, 17, 25mpbir2and 934 1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191  ..^cfzo 10077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078
This theorem is referenced by:  fzoaddel2  10128  fzosubel  10129  fzofzp1  10162  fzostep1  10172
  Copyright terms: Public domain W3C validator