ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoaddel Unicode version
Theorem fzoaddel 10431
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 10379 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
21adantr 276 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
32zred 9601 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. RR )
4 elfzoelz 10381 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
54adantr 276 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
65zred 9601 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. RR )
7 simpr 110 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
87zred 9601 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. RR )
9 elfzole1 10390 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
109adantr 276 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
113, 6, 8, 10leadd1dd 8738 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) <_ ( A + D ) )
12 elfzoel2 10380 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
1312adantr 276 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
1413zred 9601 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. RR )
15 elfzolt2 10391 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
1615adantr 276 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
176, 14, 8, 16ltadd1dd 8735 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) < ( C + D ) )
18 zaddcl 9518 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
194, 18sylan 283 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
20 zaddcl 9518 . . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
211, 20sylan 283 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
22 zaddcl 9518 . . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
2312, 22sylan 283 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
24 elfzo 10383 . . 3 |- ( ( ( A + D ) e. ZZ /\ ( B + D ) e. ZZ /\ ( C + D ) e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2519, 21, 23, 24syl3anc 1273 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2611, 17, 25mpbir2and 952 1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   + caddc 8034   < clt 8213   <_ cle 8214   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-fzo 10377
This theorem is referenced by:  fzo0addel  10432  fzoaddel2  10434  fzosubel  10438  fzofzp1  10471  fzostep1  10482
  Copyright terms: Public domain W3C validator