ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzoaddel Unicode version
Theorem fzoaddel 10117
Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoaddel |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Proof of Theorem fzoaddel
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 10070 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
21adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
32zred 9304 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. RR )
4 elfzoelz 10072 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
54adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
65zred 9304 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. RR )
7 simpr 109 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
87zred 9304 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. RR )
9 elfzole1 10080 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
109adantr 274 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
113, 6, 8, 10leadd1dd 8448 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) <_ ( A + D ) )
12 elfzoel2 10071 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
1312adantr 274 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
1413zred 9304 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. RR )
15 elfzolt2 10081 . . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
1615adantr 274 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
176, 14, 8, 16ltadd1dd 8445 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) < ( C + D ) )
18 zaddcl 9222 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
194, 18sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ZZ )
20 zaddcl 9222 . . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
211, 20sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + D ) e. ZZ )
22 zaddcl 9222 . . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
2312, 22sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( C + D ) e. ZZ )
24 elfzo 10074 . . 3 |- ( ( ( A + D ) e. ZZ /\ ( B + D ) e. ZZ /\ ( C + D ) e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2519, 21, 23, 24syl3anc 1227 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) <-> ( ( B + D ) <_ ( A + D ) /\ ( A + D ) < ( C + D ) ) ) )
2611, 17, 25mpbir2and 933 1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + D ) e. ( ( B + D )..^ ( C + D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2135   class class class wbr 3976  (class class class)co 5836   + caddc 7747   < clt 7924   <_ cle 7925   ZZcz 9182  ..^cfzo 10067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936  df-fzo 10068
This theorem is referenced by:  fzoaddel2  10118  fzosubel  10119  fzofzp1  10152  fzostep1  10162
  Copyright terms: Public domain W3C validator