Theorem fzosubel 9812

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel	|- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A - D ) e. ( ( B - D )..^ ( C - D ) ) )

Proof of Theorem fzosubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 8937	. . 3 |- ( D e. ZZ -> -u D e. ZZ )
2		fzoaddel 9810	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ -u D e. ZZ ) -> ( A + -u D ) e. ( ( B + -u D )..^ ( C + -u D ) ) )
3	1, 2	sylan2 282	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + -u D ) e. ( ( B + -u D )..^ ( C + -u D ) ) )
4		elfzoelz 9765	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 272	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
6	5	zcnd 9026	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. CC )
7		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
8	7	zcnd 9026	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. CC )
9	6, 8	negsubd 7950	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + -u D ) = ( A - D ) )
10		elfzoel1 9763	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
11	10	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
12	11	zcnd 9026	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. CC )
13	12, 8	negsubd 7950	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + -u D ) = ( B - D ) )
14		elfzoel2 9764	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
15	14	adantr 272	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
16	15	zcnd 9026	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. CC )
17	16, 8	negsubd 7950	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( C + -u D ) = ( C - D ) )
18	13, 17	oveq12d 5724	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B + -u D )..^ ( C + -u D ) ) = ( ( B - D )..^ ( C - D ) ) )
19	3, 9, 18	3eltr3d 2182	1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A - D ) e. ( ( B - D )..^ ( C - D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448  (class class class)co 5706   + caddc 7503   - cmin 7804   -ucneg 7805   ZZcz 8906  ..^cfzo 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-fzo 9761

This theorem is referenced by:  fzosubel2  9813  fzocatel  9817