Theorem fzosubel 10119

Description: Translate membership in a half-open integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzosubel	|- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A - D ) e. ( ( B - D )..^ ( C - D ) ) )

Proof of Theorem fzosubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9213	. . 3 |- ( D e. ZZ -> -u D e. ZZ )
2		fzoaddel 10117	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ -u D e. ZZ ) -> ( A + -u D ) e. ( ( B + -u D )..^ ( C + -u D ) ) )
3	1, 2	sylan2 284	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + -u D ) e. ( ( B + -u D )..^ ( C + -u D ) ) )
4		elfzoelz 10072	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
6	5	zcnd 9305	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. CC )
7		simpr 109	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
8	7	zcnd 9305	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. CC )
9	6, 8	negsubd 8206	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A + -u D ) = ( A - D ) )
10		elfzoel1 10070	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
11	10	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
12	11	zcnd 9305	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. CC )
13	12, 8	negsubd 8206	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( B + -u D ) = ( B - D ) )
14		elfzoel2 10071	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
15	14	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
16	15	zcnd 9305	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. CC )
17	16, 8	negsubd 8206	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( C + -u D ) = ( C - D ) )
18	13, 17	oveq12d 5854	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B + -u D )..^ ( C + -u D ) ) = ( ( B - D )..^ ( C - D ) ) )
19	3, 9, 18	3eltr3d 2247	1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A - D ) e. ( ( B - D )..^ ( C - D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   + caddc 7747   - cmin 8060   -ucneg 8061   ZZcz 9182  ..^cfzo 10067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-fz 9936  df-fzo 10068

This theorem is referenced by:  fzosubel2  10120  fzocatel  10124