ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzosubel3 Unicode version

Theorem fzosubel3 9535
Description: Membership in a translated half-open integer range when the original range is zero-based. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosubel3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ( 0..^ D ) )

Proof of Theorem fzosubel3
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( B..^ ( B  +  D ) ) )
2 elfzoel1 9484 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D )
)  ->  B  e.  ZZ )
32adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
43zcnd 8802 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
54addid1d 7575 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65oveq1d 5628 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( B  +  0 )..^ ( B  +  D ) )  =  ( B..^ ( B  +  D ) ) )
71, 6eleqtrrd 2164 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ( B  + 
0 )..^ ( B  +  D ) ) )
8 0zd 8695 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
9 simpr 108 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
10 fzosubel2 9534 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  0 )..^ ( B  +  D
) )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( 0..^ D ) )
117, 3, 8, 9, 10syl13anc 1174 1  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ( 0..^ D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1436  (class class class)co 5613   0cc0 7294    + caddc 7297    - cmin 7597   ZZcz 8683  ..^cfzo 9481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-addcom 7389  ax-addass 7391  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-ltadd 7405
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-inn 8358  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-fz 9357  df-fzo 9482
This theorem is referenced by:  eluzgtdifelfzo  9536
  Copyright terms: Public domain W3C validator