Theorem elfzo2 10274

Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo2	|- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )

Proof of Theorem elfzo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 586	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
2		df-3an 983	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
3	2	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) )
4		eluz2 9656	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
5		3ancoma 988	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M <_ K ) )
6		df-3an 983	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M <_ K ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) )
7	4, 5, 6	3bitri 206	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) )
8	7	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
9	1, 3, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
10		elfzoelz 10271	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ZZ )
11		elfzoel1 10269	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
12		elfzoel2 10270	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
13	10, 11, 12	3jca 1180	. . 3 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
14		elfzo 10273	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	13, 14	biadan2 456	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) )
16		3anass 985	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
17	9, 15, 16	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   < clt 8109   <_ cle 8110   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650  ..^cfzo 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-fz 10133  df-fzo 10267

This theorem is referenced by:  elfzouz  10275  fzolb  10278  elfzo3  10288  fzouzsplit  10305  elfzo0  10308  fzo1fzo0n0  10309  elfzo1  10316  eluzgtdifelfzo  10328  ssfzo12bi  10356  elfzonelfzo  10361  elfzomelpfzo  10362  iseqf1olemkle  10644  iseqf1olemklt  10645  ccatrn  11068  bitsfzolem  12298  bitsfzo  12299  bitsmod  12300  bitsfi  12301  bitsinv1lem  12305  bitsinv1  12306