Theorem elfzo2 10152

Description: Membership in a half-open integer interval. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzo2	|- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )

Proof of Theorem elfzo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 586	. . 3 |- ( ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
2		df-3an 980	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
3	2	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) )
4		eluz2 9536	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
5		3ancoma 985	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M <_ K ) )
6		df-3an 980	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M <_ K ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) )
7	4, 5, 6	3bitri 206	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) )
8	7	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) <-> ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ M <_ K ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
9	1, 3, 8	3bitr4i 212	. 2 |- ( ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
10		elfzoelz 10149	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> K e. ZZ )
11		elfzoel1 10147	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> M e. ZZ )
12		elfzoel2 10148	. . . 4 |- ( K e. ( M..^ N ) -> N e. ZZ )
13	10, 11, 12	3jca 1177	. . 3 |- ( K e. ( M..^ N ) -> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
14		elfzo 10151	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )
15	13, 14	biadan2 456	. 2 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K < N ) ) )
16		3anass 982	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( N e. ZZ /\ K < N ) ) )
17	9, 15, 16	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( M..^ N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ZZ /\ K < N ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   < clt 7994   <_ cle 7995   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530  ..^cfzo 10144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  elfzouz  10153  fzolb  10155  elfzo3  10165  fzouzsplit  10181  elfzo0  10184  fzo1fzo0n0  10185  elfzo1  10192  eluzgtdifelfzo  10199  ssfzo12bi  10227  elfzonelfzo  10232  elfzomelpfzo  10233  iseqf1olemkle  10486  iseqf1olemklt  10487