ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzospliti Unicode version
Theorem fzospliti 10602
Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzospliti |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )
Proof of Theorem fzospliti
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
2 elfzoelz 10571 . . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
32adantr 276 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4 zlelttric 9700 . . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
51, 3, 4syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
65orcomd 741 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D \/ D <_ A ) )
7 elfzole1 10580 . . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
87adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
98a1d 22 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> B <_ A ) )
109ancrd 326 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
11 elfzolt2 10581 . . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
1211adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
1312a1d 22 . . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> A < C ) )
1413ancld 325 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
1510, 14orim12d 798 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A < D \/ D <_ A ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
166, 15mpd 13 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) )
17 elfzoel1 10569 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
1817adantr 276 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
19 elfzo 10573 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
203, 18, 1, 19syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
21 elfzoel2 10570 . . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
2221adantr 276 . . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
23 elfzo 10573 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
243, 1, 22, 23syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
2520, 24orbi12d 805 . 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) <-> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
2616, 25mpbird 167 1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   < clt 8366   <_ cle 8367   ZZcz 9655  ..^cfzo 10566
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567
This theorem is used by:  fzosplit  10603  fzocatel  10634  ccatass  11398  ccatswrd  11464  ccatpfx  11495  dfphi2  13027
  Copyright terms: Public domain W3C validator