Theorem fzospliti 10300

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	|- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
2		elfzoelz 10269	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4		zlelttric 9417	. . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
6	5	orcomd 731	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D \/ D <_ A ) )
7		elfzole1 10278	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
9	8	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> B <_ A ) )
10	9	ancrd 326	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
11		elfzolt2 10279	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
13	12	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> A < C ) )
14	13	ancld 325	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
15	10, 14	orim12d 788	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A < D \/ D <_ A ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
16	6, 15	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) )
17		elfzoel1 10267	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
19		elfzo 10271	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
20	3, 18, 1, 19	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
21		elfzoel2 10268	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
23		elfzo 10271	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
24	3, 1, 22, 23	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
25	20, 24	orbi12d 795	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) <-> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
26	16, 25	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   < clt 8107   <_ cle 8108   ZZcz 9372  ..^cfzo 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  fzosplit  10301  fzocatel  10328  ccatass  11064  ccatswrd  11123  dfphi2  12542