Theorem fzospliti 10391

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	|- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> D e. ZZ )
2		elfzoelz 10360	. . . . . 6 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A e. ZZ )
4		zlelttric 9507	. . . . 5 |- ( ( D e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A \/ A < D ) )
6	5	orcomd 734	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D \/ D <_ A ) )
7		elfzole1 10369	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B <_ A )
8	7	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B <_ A )
9	8	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> B <_ A ) )
10	9	ancrd 326	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A < D -> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
11		elfzolt2 10370	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A < C )
12	11	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> A < C )
13	12	a1d 22	. . . . 5 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> A < C ) )
14	13	ancld 325	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( D <_ A -> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
15	10, 14	orim12d 791	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A < D \/ D <_ A ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
16	6, 15	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) )
17		elfzoel1 10358	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
18	17	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> B e. ZZ )
19		elfzo 10362	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
20	3, 18, 1, 19	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) <-> ( B <_ A /\ A < D ) ) )
21		elfzoel2 10359	. . . . 5 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
22	21	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> C e. ZZ )
23		elfzo 10362	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ D e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
24	3, 1, 22, 23	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( D..^ C ) <-> ( D <_ A /\ A < C ) ) )
25	20, 24	orbi12d 798	. 2 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) <-> ( ( B <_ A /\ A < D ) \/ ( D <_ A /\ A < C ) ) ) )
26	16, 25	mpbird 167	1 |- ( ( A e. ( B..^ C ) /\ D e. ZZ ) -> ( A e. ( B..^ D ) \/ A e. ( D..^ C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   < clt 8197   <_ cle 8198   ZZcz 9462  ..^cfzo 10355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356

This theorem is referenced by:  fzosplit  10392  fzocatel  10422  ccatass  11161  ccatswrd  11223  ccatpfx  11254  dfphi2  12763