Theorem ellimc3ap 13270

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Use apartness. (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
ellimc3.a	|- ( ph -> A C_ CC )
ellimc3.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
ellimc3ap	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   x, F, y   ph, x, y   z, F

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( x, y)

Proof of Theorem ellimc3ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc3.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		ellimc3.a	. 2 |- ( ph -> A C_ CC )
3		ellimc3.b	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
4		nfcv 2308	. 2 |- F/_ z F
5	1, 2, 3, 4	ellimc3apf 13269	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   < clt 7933   - cmin 8069   # cap 8479   RR+crp 9589   abscabs 10939   lim CC climc 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pm 6617  df-limced 13265

This theorem is referenced by:  limcdifap  13271  limcimolemlt  13273  limcimo  13274  limcresi  13275  cnplimcim  13276  cnplimclemr  13278  limccnpcntop  13284  dveflem  13327