Theorem ellimc3ap 14270

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Use apartness. (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
ellimc3.a	|- ( ph -> A C_ CC )
ellimc3.b	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
ellimc3ap	|- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   x, F, y   ph, x, y   z, F

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( x, y)

Proof of Theorem ellimc3ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc3.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> CC )
2		ellimc3.a	. 2 |- ( ph -> A C_ CC )
3		ellimc3.b	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
4		nfcv 2319	. 2 |- F/_ z F
5	1, 2, 3, 4	ellimc3apf 14269	1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   < clt 7995   - cmin 8131   # cap 8541   RR+crp 9656   abscabs 11009   lim CC climc 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pm 6654  df-limced 14265

This theorem is referenced by:  limcdifap  14271  limcimolemlt  14273  limcimo  14274  limcresi  14275  cnplimcim  14276  cnplimclemr  14278  limccnpcntop  14284  dveflem  14327