Theorem limcresi 13802

Description: Any limit of F is also a limit of the restriction of F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
limcresi	|- ( F lim CC B ) C_ ( ( F |` C ) lim CC B )

Proof of Theorem limcresi

Dummy variables d e u x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrcl 13794	. . . . . . 7 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC /\ B e. CC ) )
2	1	simp1d 1009	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> F : dom F --> CC )
3	1	simp2d 1010	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> dom F C_ CC )
4	1	simp3d 1011	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> B e. CC )
5	2, 3, 4	ellimc3ap 13797	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) ) )
6	5	ibi 176	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) )
7		inss1 3355	. . . . . . . . 9 |- ( dom F i^i C ) C_ dom F
8		ssralv 3219	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom F i^i C ) C_ dom F -> ( A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) )
10		elinel2 3322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( dom F i^i C ) -> u e. C )
11		fvres 5535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. C -> ( ( F |` C ) ` u ) = ( F ` u ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( dom F i^i C ) -> ( ( F |` C ) ` u ) = ( F ` u ) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( F |` C ) ` u ) = ( F ` u ) )
14	13	fvoveq1d 5891	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) = ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) )
15	14	breq1d 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) )
16	15	imbi2d 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) <-> ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) )
17	16	biimprd 158	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ u e. ( dom F i^i C ) ) -> ( ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
18	17	ralimdva 2544	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
19	9, 18	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
20	19	reximdv 2578	. . . . . 6 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
21	20	ralimdv 2545	. . . . 5 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
22	21	anim2d 337	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. dom F ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - x ) ) < e ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) ) )
23	6, 22	mpd 13	. . 3 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) )
24		fresin 5390	. . . . 5 |- ( F : dom F --> CC -> ( F |` C ) : ( dom F i^i C ) --> CC )
25	2, 24	syl 14	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( F |` C ) : ( dom F i^i C ) --> CC )
26	7, 3	sstrid 3166	. . . 4 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( dom F i^i C ) C_ CC )
27	25, 26, 4	ellimc3ap 13797	. . 3 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> ( x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. u e. ( dom F i^i C ) ( ( u # B /\ ( abs ` ( u - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( ( F |` C ) ` u ) - x ) ) < e ) ) ) )
28	23, 27	mpbird 167	. 2 |- ( x e. ( F lim CC B ) -> x e. ( ( F |` C ) lim CC B ) )
29	28	ssriv 3159	1 |- ( F lim CC B ) C_ ( ( F |` C ) lim CC B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3128   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   dom cdm 4623   |` cres 4625   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   < clt 7982   - cmin 8118   # cap 8528   RR+crp 9640   abscabs 10990   lim CC climc 13790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pm 6645  df-limced 13792

This theorem is referenced by:  dvidlemap  13827  dvcnp2cntop  13830  dvcoapbr  13838