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Theorem limcimo 13104
Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 
F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcimo.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
limcimo.bc  |-  ( ph  ->  B  e.  C )
limcimo.bs  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
limcimo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Kt  S ) )
limcimo.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
limcimo.ca  |-  ( ph  ->  { q  e.  C  |  q #  B }  C_  A )
limcflfcntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
limcimo  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, B    B, q    C, q    x, F    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( q)    A( x, q)    C( x)    S( x, q)    F( q)    K( x, q)

Proof of Theorem limcimo
Dummy variables  e  z  f  g  w  d  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3971 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
21imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  e )  <-> 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
32rexralbidv 2483 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e )  <->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
74, 5, 6ellimc3ap 13100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e ) ) ) )
87biimpa 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  e ) ) )
98adantrr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  e
) ) )
109simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  e ) )
1110adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e ) )
129simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  x  e.  CC )
1312adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  CC )
144, 5, 6ellimc3ap 13100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( y  e.  CC  /\ 
A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f ) ) ) )
1514biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  (
w  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  f ) ) )
1615adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  (
y  e.  CC  /\  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  y
) )  <  f
) ) )
1716simpld 111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  y  e.  CC )
1817adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  CC )
1913, 18subcld 8190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
20 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
2113, 18, 20subap0d 8523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  -  y ) #  0 )
2219, 21absrpclapd 11099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR+ )
2322rphalfcld 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  e.  RR+ )
243, 11, 23rspcdva 2821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
25 breq2 3971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f  <->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
2625imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  f )  <-> 
( ( w #  B  /\  ( abs `  (
w  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
2726rexralbidv 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f )  <->  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  y
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
2816simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  (
w  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  f ) )
2928adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f ) )
3027, 29, 23rspcdva 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
3130adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) )
324ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  F : A --> CC )
335ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  A  C_  CC )
346ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  C )
3635ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  B  e.  C )
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
3837ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  B  e.  S )
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Kt  S ) )
4039ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  C  e.  ( Kt  S ) )
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4241ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { q  e.  C  |  q #  B }  C_  A )
4443ad4antr 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  { q  e.  C  |  q #  B }  C_  A
)
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
46 simplrl 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
47 simprl 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  x  e.  ( F lim CC  B
) )
4847ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ( F lim CC  B
) )
49 simprr 522 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  B
) )
5049ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  B
) )
51 simplrr 526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) )
52 simprl 521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  g  e.  RR+ )
53 simprr 522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) )
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 13103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( abs `  (
x  -  y ) ) )
5531, 54rexlimddv 2579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
5624, 55rexlimddv 2579 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
5722rpred 9609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR )
5857ltnrd 7991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  -.  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  ( abs `  ( x  -  y ) ) )
5956, 58pm2.65da 651 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  -.  x #  y )
60 apti 8501 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
6112, 17, 60syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  -.  x #  y ) )
6259, 61mpbird 166 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  x  =  y )
6362ex 114 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  x  =  y ) )
6463alrimivv 1855 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  x  =  y ) )
65 eleq1w 2218 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  <->  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )
6665mo4 2067 . 2  |-  ( E* x  x  e.  ( F lim CC  B )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  x  =  y ) )
6764, 66sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1333    = wceq 1335   E*wmo 2007    e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   {crab 2439    C_ wss 3102   {cpr 3562   class class class wbr 3967    o. ccom 4592   -->wf 5168   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   RRcr 7733    < clt 7914    - cmin 8050   # cap 8460    / cdiv 8549   2c2 8889   RR+crp 9566   abscabs 10908   ↾t crest 12421   MetOpencmopn 12455   lim CC climc 13093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-map 6597  df-pm 6598  df-sup 6930  df-inf 6931  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-xneg 9685  df-xadd 9686  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-rest 12423  df-topgen 12442  df-psmet 12457  df-xmet 12458  df-met 12459  df-bl 12460  df-mopn 12461  df-top 12466  df-topon 12479  df-bases 12511  df-limced 13095
This theorem is referenced by:  dvfgg  13127
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