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Theorem limcimo 15339
Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of F at B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f |- ( ph -> F : A --> CC )
limcflf.a |- ( ph -> A C_ CC )
limcimo.b |- ( ph -> B e. CC )
limcimo.bc |- ( ph -> B e. C )
limcimo.bs |- ( ph -> B e. S )
limcimo.c |- ( ph -> C e. ( K ↾t S ) )
limcimo.s |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
limcimo.ca |- ( ph -> { q e. C | q # B } C_ A )
limcflfcntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
Assertion
Ref Expression
limcimo |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
Distinct variable groups:   x, B   B, q   C, q   x, F   ph, x
Allowed substitution hints:   ph( q)   A( x, q)   C( x)   S( x, q)   F( q)   K( x, q)
Proof of Theorem limcimo
Dummy variables e z f g w d y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4087 . . . . . . . . . 10 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
21imbi2d 230 . . . . . . . . 9 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
32rexralbidv 2556 . . . . . . . 8 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ CC )
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
74, 5, 6ellimc3ap 15335 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) ) )
87biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( F lim CC B ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) )
98adantrr 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) )
109simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) )
1110adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) )
129simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x e. CC )
1312adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> x e. CC )
144, 5, 6ellimc3ap 15335 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( F lim CC B ) <-> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) ) )
1514biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) )
1615adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) )
1716simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> y e. CC )
1817adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> y e. CC )
1913, 18subcld 8457 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( x - y ) e. CC )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> x # y )
2113, 18, 20subap0d 8791 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( x - y ) # 0 )
2219, 21absrpclapd 11699 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR+ )
2322rphalfcld 9905 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) e. RR+ )
243, 11, 23rspcdva 2912 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
25 breq2 4087 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
2625imbi2d 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) <-> ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
2726rexralbidv 2556 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) <-> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
2816simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) )
3027, 29, 23rspcdva 2912 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
3130adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
324ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> F : A --> CC )
335ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A C_ CC )
346ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. CC )
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. C )
3635ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. C )
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. S )
3837ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. S )
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( K ↾t S ) )
4039ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> C e. ( K ↾t S ) )
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
4241ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { q e. C | q # B } C_ A )
4443ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> { q e. C | q # B } C_ A )
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
46 simplrl 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
47 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x e. ( F lim CC B ) )
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ( F lim CC B ) )
49 simprr 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> y e. ( F lim CC B ) )
5049ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> y e. ( F lim CC B ) )
51 simplrr 536 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
52 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> g e. RR+ )
53 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 15338 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5531, 54rexlimddv 2653 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5624, 55rexlimddv 2653 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5722rpred 9892 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR )
5857ltnrd 8258 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> -. ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5956, 58pm2.65da 665 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> -. x # y )
60 apti 8769 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
6112, 17, 60syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
6259, 61mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x = y )
6362ex 115 . . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
6463alrimivv 1921 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
65 eleq1w 2290 . . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> y e. ( F lim CC B ) ) )
6665mo4 2139 . 2 |- ( E* x x e. ( F lim CC B ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
6764, 66sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E*wmo 2078   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {crab 2512   C_ wss 3197   {cpr 3667   class class class wbr 4083   o. ccom 4723   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   < clt 8181   - cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819   2c2 9161   RR+crp 9849   abscabs 11508   ↾t crest 13272   MetOpencmopn 14505   lim CC climc 15328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-pm 6798  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-limced 15330
This theorem is referenced by:  dvfgg  15362
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