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Theorem limcimo 14430
Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 
F at  B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
limcflf.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
limcimo.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
limcimo.bc  |-  ( ph  ->  B  e.  C )
limcimo.bs  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
limcimo.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Kt  S ) )
limcimo.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
limcimo.ca  |-  ( ph  ->  { q  e.  C  |  q #  B }  C_  A )
limcflfcntop.k  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Assertion
Ref Expression
limcimo  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Distinct variable groups:    x, B    B, q    C, q    x, F    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( q)    A( x, q)    C( x)    S( x, q)    F( q)    K( x, q)

Proof of Theorem limcimo
Dummy variables  e  z  f  g  w  d  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4019 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
21imbi2d 230 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  e )  <-> 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
32rexralbidv 2513 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e )  <->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
74, 5, 6ellimc3ap 14426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( x  e.  CC  /\ 
A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e ) ) ) )
87biimpa 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  e ) ) )
98adantrr 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  (
x  e.  CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  e
) ) )
109simprd 114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  e ) )
1110adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
e ) )
129simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  x  e.  CC )
1312adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  x  e.  CC )
144, 5, 6ellimc3ap 14426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( y  e.  CC  /\ 
A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f ) ) ) )
1514biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  (
w  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  f ) ) )
1615adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  (
y  e.  CC  /\  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  y
) )  <  f
) ) )
1716simpld 112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  y  e.  CC )
1817adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  y  e.  CC )
1913, 18subcld 8282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  x #  y )
2113, 18, 20subap0d 8615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( x  -  y ) #  0 )
2219, 21absrpclapd 11211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR+ )
2322rphalfcld 9723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  e.  RR+ )
243, 11, 23rspcdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
25 breq2 4019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f  <->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
2625imbi2d 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  f )  <-> 
( ( w #  B  /\  ( abs `  (
w  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
2726rexralbidv 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  2
)  ->  ( E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f )  <->  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B
) )  <  g
)  ->  ( abs `  ( ( F `  w )  -  y
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )
2816simprd 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  (
w  -  B ) )  <  g )  ->  ( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  f ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  A. f  e.  RR+  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
f ) )
3027, 29, 23rspcdva 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) )
3130adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  E. g  e.  RR+  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) )
324ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  F : A --> CC )
335ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  A  C_  CC )
346ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  C )
3635ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  B  e.  C )
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
3837ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  B  e.  S )
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Kt  S ) )
4039ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  C  e.  ( Kt  S ) )
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
4241ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { q  e.  C  |  q #  B }  C_  A )
4443ad4antr 494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  { q  e.  C  |  q #  B }  C_  A
)
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
46 simplrl 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
47 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  x  e.  ( F lim CC  B
) )
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  x  e.  ( F lim CC  B
) )
49 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  B
) )
5049ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  y  e.  ( F lim CC  B
) )
51 simplrr 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
d )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  x ) )  < 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) )
52 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  g  e.  RR+ )
53 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  A. w  e.  A  ( (
w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  < 
g )  ->  ( abs `  ( ( F `
 w )  -  y ) )  < 
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) )
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 14429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  (
d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  (
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  x ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  /\  (
g  e.  RR+  /\  A. w  e.  A  (
( w #  B  /\  ( abs `  ( w  -  B ) )  <  g )  -> 
( abs `  (
( F `  w
)  -  y ) )  <  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( abs `  (
x  -  y ) ) )
5531, 54rexlimddv 2609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  /\  ( d  e.  RR+  /\  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  d
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  x
) )  <  (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  2 ) ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
5624, 55rexlimddv 2609 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( abs `  ( x  -  y
) ) )
5722rpred 9710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR )
5857ltnrd 8083 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  /\  x #  y )  ->  -.  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  ( abs `  ( x  -  y ) ) )
5956, 58pm2.65da 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  -.  x #  y )
60 apti 8593 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  =  y  <->  -.  x #  y )
)
6112, 17, 60syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  (
x  =  y  <->  -.  x #  y ) )
6259, 61mpbird 167 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )  ->  x  =  y )
6362ex 115 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  x  =  y ) )
6463alrimivv 1885 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( x  e.  ( F lim CC  B
)  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  x  =  y ) )
65 eleq1w 2248 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( F lim
CC  B )  <->  y  e.  ( F lim CC  B ) ) )
6665mo4 2097 . 2  |-  ( E* x  x  e.  ( F lim CC  B )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( F lim CC  B )  /\  y  e.  ( F lim CC  B ) )  ->  x  =  y ) )
6764, 66sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( F lim CC  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1361    = wceq 1363   E*wmo 2037    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   {crab 2469    C_ wss 3141   {cpr 3605   class class class wbr 4015    o. ccom 4642   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824    < clt 8006    - cmin 8142   # cap 8552    / cdiv 8643   2c2 8984   RR+crp 9667   abscabs 11020   ↾t crest 12706   MetOpencmopn 13727   lim CC climc 14419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pm 6665  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-limced 14421
This theorem is referenced by:  dvfgg  14453
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