Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcimo Unicode version

Theorem limcimo 12677
 Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of at . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f
limcflf.a
limcimo.b
limcimo.bc
limcimo.bs
limcimo.c t
limcimo.s
limcimo.ca #
limcflfcntop.k
Assertion
Ref Expression
limcimo lim
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem limcimo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3901 . . . . . . . . . 10
21imbi2d 229 . . . . . . . . 9 # #
32rexralbidv 2436 . . . . . . . 8 # #
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13
74, 5, 6ellimc3ap 12673 . . . . . . . . . . . 12 lim #
87biimpa 292 . . . . . . . . . . 11 lim #
98adantrr 468 . . . . . . . . . 10 lim lim #
109simprd 113 . . . . . . . . 9 lim lim #
1110adantr 272 . . . . . . . 8 lim lim # #
129simpld 111 . . . . . . . . . . . 12 lim lim
1312adantr 272 . . . . . . . . . . 11 lim lim #
144, 5, 6ellimc3ap 12673 . . . . . . . . . . . . . . 15 lim #
1514biimpa 292 . . . . . . . . . . . . . 14 lim #
1615adantrl 467 . . . . . . . . . . . . 13 lim lim #
1716simpld 111 . . . . . . . . . . . 12 lim lim
1817adantr 272 . . . . . . . . . . 11 lim lim #
1913, 18subcld 8037 . . . . . . . . . 10 lim lim #
20 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 lim lim # #
2113, 18, 20subap0d 8368 . . . . . . . . . 10 lim lim # #
2219, 21absrpclapd 10900 . . . . . . . . 9 lim lim #
2322rphalfcld 9442 . . . . . . . 8 lim lim #
243, 11, 23rspcdva 2766 . . . . . . 7 lim lim # #
25 breq2 3901 . . . . . . . . . . . 12
2625imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11 # #
2726rexralbidv 2436 . . . . . . . . . 10 # #
2816simprd 113 . . . . . . . . . . 11 lim lim #
2928adantr 272 . . . . . . . . . 10 lim lim # #
3027, 29, 23rspcdva 2766 . . . . . . . . 9 lim lim # #
3130adantr 272 . . . . . . . 8 lim lim # # #
324ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
335ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
346ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10
3635ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10
3837ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10 t
4039ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # # t
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10
4241ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10 #
4443ad4antr 483 . . . . . . . . 9 lim lim # # # #
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9
46 simplrl 507 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
47 simprl 503 . . . . . . . . . 10 lim lim lim
4847ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9 lim lim # # # lim
49 simprr 504 . . . . . . . . . 10 lim lim lim
5049ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9 lim lim # # # lim
51 simplrr 508 . . . . . . . . 9 lim lim # # # #
52 simprl 503 . . . . . . . . 9 lim lim # # #
53 simprr 504 . . . . . . . . 9 lim lim # # # #
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 12676 . . . . . . . 8 lim lim # # #
5531, 54rexlimddv 2529 . . . . . . 7 lim lim # #
5624, 55rexlimddv 2529 . . . . . 6 lim lim #
5722rpred 9429 . . . . . . 7 lim lim #
5857ltnrd 7839 . . . . . 6 lim lim #
5956, 58pm2.65da 633 . . . . 5 lim lim #
60 apti 8347 . . . . . 6 #
6112, 17, 60syl2anc 406 . . . . 5 lim lim #
6259, 61mpbird 166 . . . 4 lim lim
6362ex 114 . . 3 lim lim
6463alrimivv 1829 . 2 lim lim
65 eleq1w 2176 . . 3 lim lim
6665mo4 2036 . 2 lim lim lim
6764, 66sylibr 133 1 lim
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104  wal 1312   wceq 1314   wcel 1463  wmo 1976  wral 2391  wrex 2392  crab 2395   wss 3039  cpr 3496   class class class wbr 3897   ccom 4511  wf 5087  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  cr 7583   clt 7764   cmin 7897   # cap 8306   cdiv 8392  c2 8728  crp 9390  cabs 10709   ↾t crest 12015  cmopn 12049   lim climc 12666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-map 6510  df-pm 6511  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-xneg 9499  df-xadd 9500  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-rest 12017  df-topgen 12036  df-psmet 12051  df-xmet 12052  df-met 12053  df-bl 12054  df-mopn 12055  df-top 12060  df-topon 12073  df-bases 12105  df-limced 12668 This theorem is referenced by:  dvfgg  12700
 Copyright terms: Public domain W3C validator