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Theorem limcimo 15476
Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of F at B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f |- ( ph -> F : A --> CC )
limcflf.a |- ( ph -> A C_ CC )
limcimo.b |- ( ph -> B e. CC )
limcimo.bc |- ( ph -> B e. C )
limcimo.bs |- ( ph -> B e. S )
limcimo.c |- ( ph -> C e. ( K ↾t S ) )
limcimo.s |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
limcimo.ca |- ( ph -> { q e. C | q # B } C_ A )
limcflfcntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
Assertion
Ref Expression
limcimo |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
Distinct variable groups:   x, B   B, q   C, q   x, F   ph, x
Allowed substitution hints:   ph( q)   A( x, q)   C( x)   S( x, q)   F( q)   K( x, q)
Proof of Theorem limcimo
Dummy variables e z f g w d y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4097 . . . . . . . . . 10 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
21imbi2d 230 . . . . . . . . 9 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
32rexralbidv 2559 . . . . . . . 8 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ CC )
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
74, 5, 6ellimc3ap 15472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) ) )
87biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( F lim CC B ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) )
98adantrr 479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) )
109simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) )
1110adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) )
129simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x e. CC )
1312adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> x e. CC )
144, 5, 6ellimc3ap 15472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( F lim CC B ) <-> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) ) )
1514biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) )
1615adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) )
1716simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> y e. CC )
1817adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> y e. CC )
1913, 18subcld 8549 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( x - y ) e. CC )
20 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> x # y )
2113, 18, 20subap0d 8883 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( x - y ) # 0 )
2219, 21absrpclapd 11828 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR+ )
2322rphalfcld 10005 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) e. RR+ )
243, 11, 23rspcdva 2916 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
25 breq2 4097 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
2625imbi2d 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) <-> ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
2726rexralbidv 2559 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) <-> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
2816simprd 114 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) )
2928adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) )
3027, 29, 23rspcdva 2916 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
3130adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
324ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> F : A --> CC )
335ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A C_ CC )
346ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. CC )
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. C )
3635ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. C )
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. S )
3837ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. S )
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( K ↾t S ) )
4039ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> C e. ( K ↾t S ) )
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
4241ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { q e. C | q # B } C_ A )
4443ad4antr 494 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> { q e. C | q # B } C_ A )
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
46 simplrl 537 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
47 simprl 531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x e. ( F lim CC B ) )
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ( F lim CC B ) )
49 simprr 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> y e. ( F lim CC B ) )
5049ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> y e. ( F lim CC B ) )
51 simplrr 538 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
52 simprl 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> g e. RR+ )
53 simprr 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 15475 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5531, 54rexlimddv 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5624, 55rexlimddv 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5722rpred 9992 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR )
5857ltnrd 8350 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> -. ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5956, 58pm2.65da 667 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> -. x # y )
60 apti 8861 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
6112, 17, 60syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
6259, 61mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x = y )
6362ex 115 . . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
6463alrimivv 1923 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
65 eleq1w 2292 . . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> y e. ( F lim CC B ) ) )
6665mo4 2141 . 2 |- ( E* x x e. ( F lim CC B ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
6764, 66sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E*wmo 2080   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   {cpr 3674   class class class wbr 4093   o. ccom 4735   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   < clt 8273   - cmin 8409   # cap 8820   / cdiv 8911   2c2 9253   RR+crp 9949   abscabs 11637   ↾t crest 13402   MetOpencmopn 14637   lim CC climc 15465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pm 6863  df-sup 7243  df-inf 7244  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-xneg 10068  df-xadd 10069  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-rest 13404  df-topgen 13423  df-psmet 14639  df-xmet 14640  df-met 14641  df-bl 14642  df-mopn 14643  df-top 14809  df-topon 14822  df-bases 14854  df-limced 15467
This theorem is referenced by:  dvfgg  15499
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