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Theorem limcimo 13274
Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of F at B. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f |- ( ph -> F : A --> CC )
limcflf.a |- ( ph -> A C_ CC )
limcimo.b |- ( ph -> B e. CC )
limcimo.bc |- ( ph -> B e. C )
limcimo.bs |- ( ph -> B e. S )
limcimo.c |- ( ph -> C e. ( K ↾t S ) )
limcimo.s |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
limcimo.ca |- ( ph -> { q e. C | q # B } C_ A )
limcflfcntop.k |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
Assertion
Ref Expression
limcimo |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
Distinct variable groups:   x, B   B, q   C, q   x, F   ph, x
Allowed substitution hints:   ph( q)   A( x, q)   C( x)   S( x, q)   F( q)   K( x, q)
Proof of Theorem limcimo
Dummy variables e z f g w d y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3986 . . . . . . . . . 10 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
21imbi2d 229 . . . . . . . . 9 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
32rexralbidv 2492 . . . . . . . 8 |- ( e = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) <-> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : A --> CC )
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ CC )
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
74, 5, 6ellimc3ap 13270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) ) )
87biimpa 294 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( F lim CC B ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) )
98adantrr 471 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( x e. CC /\ A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) ) )
109simprd 113 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) )
1110adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < e ) )
129simpld 111 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x e. CC )
1312adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> x e. CC )
144, 5, 6ellimc3ap 13270 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( y e. ( F lim CC B ) <-> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) ) )
1514biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) )
1615adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( y e. CC /\ A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) ) )
1716simpld 111 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> y e. CC )
1817adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> y e. CC )
1913, 18subcld 8209 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( x - y ) e. CC )
20 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> x # y )
2113, 18, 20subap0d 8542 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( x - y ) # 0 )
2219, 21absrpclapd 11130 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR+ )
2322rphalfcld 9645 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) e. RR+ )
243, 11, 23rspcdva 2835 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> E. d e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
25 breq2 3986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f <-> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
2625imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) <-> ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
2726rexralbidv 2492 . . . . . . . . . 10 |- ( f = ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) -> ( E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) <-> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) )
2816simprd 113 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) )
2928adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> A. f e. RR+ E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < f ) )
3027, 29, 23rspcdva 2835 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
3130adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> E. g e. RR+ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
324ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> F : A --> CC )
335ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A C_ CC )
346ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. CC )
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. C )
3635ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. C )
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. S )
3837ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> B e. S )
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( K ↾t S ) )
4039ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> C e. ( K ↾t S ) )
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
4241ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { q e. C | q # B } C_ A )
4443ad4antr 486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> { q e. C | q # B } C_ A )
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
46 simplrl 525 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> d e. RR+ )
47 simprl 521 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x e. ( F lim CC B ) )
4847ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> x e. ( F lim CC B ) )
49 simprr 522 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> y e. ( F lim CC B ) )
5049ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> y e. ( F lim CC B ) )
51 simplrr 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
52 simprl 521 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> g e. RR+ )
53 simprr 522 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) )
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 13273 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) /\ ( g e. RR+ /\ A. w e. A ( ( w # B /\ ( abs ` ( w - B ) ) < g ) -> ( abs ` ( ( F ` w ) - y ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5531, 54rexlimddv 2588 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) /\ ( d e. RR+ /\ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < d ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - x ) ) < ( ( abs ` ( x - y ) ) / 2 ) ) ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5624, 55rexlimddv 2588 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5722rpred 9632 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR )
5857ltnrd 8010 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) /\ x # y ) -> -. ( abs ` ( x - y ) ) < ( abs ` ( x - y ) ) )
5956, 58pm2.65da 651 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> -. x # y )
60 apti 8520 . . . . . 6 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
6112, 17, 60syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> ( x = y <-> -. x # y ) )
6259, 61mpbird 166 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) ) -> x = y )
6362ex 114 . . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
6463alrimivv 1863 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
65 eleq1w 2227 . . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> y e. ( F lim CC B ) ) )
6665mo4 2075 . 2 |- ( E* x x e. ( F lim CC B ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( F lim CC B ) /\ y e. ( F lim CC B ) ) -> x = y ) )
6764, 66sylibr 133 1 |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   E*wmo 2015   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   C_ wss 3116   {cpr 3577   class class class wbr 3982   o. ccom 4608   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   < clt 7933   - cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568   2c2 8908   RR+crp 9589   abscabs 10939   ↾t crest 12556   MetOpencmopn 12625   lim CC climc 13263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-limced 13265
This theorem is referenced by:  dvfgg  13297
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