Theorem ellimc3ap 14270

Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Use apartness. (Revised by Jim Kingdon, 3-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimc3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimc3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimc3.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ellimc3ap	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑧,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ellimc3ap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellimc3.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2		ellimc3.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
3		ellimc3.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑧𝐹
5	1, 2, 3, 4	ellimc3apf 14269	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812   < clt 7995   − cmin 8131   # cap 8541  ℝ⁺crp 9656  abscabs 11009   lim_ℂ climc 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pm 6654  df-limced 14265

This theorem is referenced by:  limcdifap  14271  limcimolemlt  14273  limcimo  14274  limcresi  14275  cnplimcim  14276  cnplimclemr  14278  limccnpcntop  14284  dveflem  14327