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Theorem ellimc3apf 14356
Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimc3.f |- ( ph -> F : A --> CC )
ellimc3.a |- ( ph -> A C_ CC )
ellimc3.b |- ( ph -> B e. CC )
ellimc3.nf |- F/_ z F
Assertion
Ref Expression
ellimc3apf |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
Distinct variable groups:   z, A   x, B, y, z   x, C, y, z   x, F, y   ph, x, y
Allowed substitution hints:   ph( z)   A( x, y)   F( z)
Proof of Theorem ellimc3apf
Dummy variables f u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7948 . . . . . . 7 |- CC e. _V
21a1i 9 . . . . . 6 |- ( ph -> CC e. _V )
3 ellimc3.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
4 ellimc3.a . . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
5 elpm2r 6679 . . . . . 6 |- ( ( ( CC e. _V /\ CC e. _V ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ CC ) ) -> F e. ( CC ^pm CC ) )
62, 2, 3, 4, 5syl22anc 1249 . . . . 5 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm CC ) )
7 ellimc3.b . . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
81rabex 4159 . . . . . 6 |- { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } e. _V
98a1i 9 . . . . 5 |- ( ph -> { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } e. _V )
10 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> f = F )
1110dmeqd 4841 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> dom f = dom F )
1210, 11feq12d 5367 . . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( f : dom f --> CC <-> F : dom F --> CC ) )
1311sseq1d 3196 . . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( dom f C_ CC <-> dom F C_ CC ) )
1412, 13anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) ) )
15 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> w = B )
1615eleq1d 2256 . . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( w e. CC <-> B e. CC ) )
17 nfcv 2329 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z dom f
18 ellimc3.nf . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ z F
1918nfdm 4883 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z dom F
2017, 19raleqf 2679 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom f = dom F -> ( A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. z e. dom F ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) ) )
2111, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. z e. dom F ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) ) )
2218nfeq2 2341 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z f = F
23 nfv 1538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ z w = B
2422, 23nfan 1575 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( f = F /\ w = B )
2515breq2d 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( z # w <-> z # B ) )
2615oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( z - w ) = ( z - B ) )
2726fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( abs ` ( z - w ) ) = ( abs ` ( z - B ) ) )
2827breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( abs ` ( z - w ) ) < y <-> ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
2925, 28anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) <-> ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) ) )
3010fveq1d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( f ` z ) = ( F ` z ) )
3130fvoveq1d 5910 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) )
3231breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) )
3329, 32imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) )
3424, 33ralbid 2485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( A. z e. dom F ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) )
3521, 34bitrd 188 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) )
3635rexbidv 2488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( E. y e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) )
3736ralbidv 2487 . . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) )
3816, 37anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( w e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) ) <-> ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) )
3914, 38anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> ( ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( w e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) ) )
4039rabbidv 2738 . . . . . 6 |- ( ( f = F /\ w = B ) -> { u e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( w e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } = { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } )
41 df-limced 14352 . . . . . 6 |- lim CC = ( f e. ( CC ^pm CC ) , w e. CC |-> { u e. CC | ( ( f : dom f --> CC /\ dom f C_ CC ) /\ ( w e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom f ( ( z # w /\ ( abs ` ( z - w ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( f ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } )
4240, 41ovmpoga 6017 . . . . 5 |- ( ( F e. ( CC ^pm CC ) /\ B e. CC /\ { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } e. _V ) -> ( F lim CC B ) = { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } )
436, 7, 9, 42syl3anc 1248 . . . 4 |- ( ph -> ( F lim CC B ) = { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } )
4443eleq2d 2257 . . 3 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> C e. { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } ) )
45 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u = C -> ( ( F ` z ) - u ) = ( ( F ` z ) - C ) )
4645fveq2d 5531 . . . . . . . . . . 11 |- ( u = C -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) )
4746breq1d 4025 . . . . . . . . . 10 |- ( u = C -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) )
4847imbi2d 230 . . . . . . . . 9 |- ( u = C -> ( ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) <-> ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
4948ralbidv 2487 . . . . . . . 8 |- ( u = C -> ( A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
5049rexbidv 2488 . . . . . . 7 |- ( u = C -> ( E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) <-> E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
5150ralbidv 2487 . . . . . 6 |- ( u = C -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
5251anbi2d 464 . . . . 5 |- ( u = C -> ( ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) <-> ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
5352anbi2d 464 . . . 4 |- ( u = C -> ( ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
5453elrab 2905 . . 3 |- ( C e. { u e. CC | ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - u ) ) < x ) ) ) } <-> ( C e. CC /\ ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
5544, 54bitrdi 196 . 2 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) ) )
567biantrurd 305 . . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
573fdmd 5384 . . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = A )
5857feq2d 5365 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC <-> F : A --> CC ) )
593, 58mpbird 167 . . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
6057, 4eqsstrd 3203 . . . . 5 |- ( ph -> dom F C_ CC )
61 ibar 301 . . . . 5 |- ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) -> ( ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
6259, 60, 61syl2anc 411 . . . 4 |- ( ph -> ( ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
6356, 62bitrd 188 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) )
6463anbi2d 464 . 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( C e. CC /\ ( ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ CC ) /\ ( B e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) ) ) )
65 nfcv 2329 . . . . . . 7 |- F/_ z A
6619, 65raleqf 2679 . . . . . 6 |- ( dom F = A -> ( A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
6757, 66syl 14 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
6867rexbidv 2488 . . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
6968ralbidv 2487 . . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) )
7069anbi2d 464 . 2 |- ( ph -> ( ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. dom F ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
7155, 64, 703bitr2d 216 1 |- ( ph -> ( C e. ( F lim CC B ) <-> ( C e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z # B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - C ) ) < x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   F/_wnfc 2316   A.wral 2465   E.wrex 2466   {crab 2469   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   class class class wbr 4015   dom cdm 4638   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   ^pm cpm 6662   CCcc 7822   < clt 8005   - cmin 8141   # cap 8551   RR+crp 9666   abscabs 11019   lim CC climc 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pm 6664  df-limced 14352
This theorem is referenced by:  ellimc3ap  14357  limcmpted  14359
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