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Theorem ellimc3apf 12672
Description: Write the epsilon-delta definition of a limit. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimc3.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
ellimc3.a  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
ellimc3.b  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
ellimc3.nf  |-  F/_ z F
Assertion
Ref Expression
ellimc3apf  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    x, B, y, z    x, C, y, z    x, F, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y)    F( z)

Proof of Theorem ellimc3apf
Dummy variables  f  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7708 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
21a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
3 ellimc3.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
4 ellimc3.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5 elpm2r 6526 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
62, 2, 3, 4, 5syl22anc 1200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
7 ellimc3.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
81rabex 4040 . . . . . 6  |-  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) }  e.  _V
98a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) }  e.  _V )
10 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  f  =  F )
1110dmeqd 4709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  dom  f  =  dom  F )
1210, 11feq12d 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( f : dom  f
--> CC  <->  F : dom  F --> CC ) )
1311sseq1d 3094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( dom  f  C_  CC 
<->  dom  F  C_  CC ) )
1412, 13anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( f : dom  f --> CC  /\  dom  f  C_  CC )  <-> 
( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC ) ) )
15 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  w  =  B )
1615eleq1d 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( w  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
17 nfcv 2256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z dom  f
18 ellimc3.nf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z F
1918nfdm 4751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z dom  F
2017, 19raleqf 2597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  f  =  dom  F  ->  ( A. z  e. 
dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  dom  F ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )
2111, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( A. z  e. 
dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  dom  F ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )
2218nfeq2 2268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  f  =  F
23 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z  w  =  B
2422, 23nfan 1527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( f  =  F  /\  w  =  B )
2515breq2d 3909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( z #  w  <->  z #  B
) )
2615oveq2d 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( z  -  w
)  =  ( z  -  B ) )
2726fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( abs `  (
z  -  w ) )  =  ( abs `  ( z  -  B
) ) )
2827breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( abs `  (
z  -  w ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
) )
2925, 28anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( z #  w  /\  ( abs `  (
z  -  w ) )  <  y )  <-> 
( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  <  y ) ) )
3010fveq1d 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( f `  z
)  =  ( F `
 z ) )
3130fvoveq1d 5762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( abs `  (
( f `  z
)  -  u ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  u
) ) )
3231breq1d 3907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( abs `  (
( f `  z
)  -  u ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  u
) )  <  x
) )
3329, 32imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( f `  z )  -  u
) )  <  x
)  <->  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  u
) )  <  x
) ) )
3424, 33ralbid 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )
3521, 34bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( A. z  e. 
dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )
3635rexbidv 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( f `  z )  -  u
) )  <  x
)  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  x ) ) )
3736ralbidv 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  f
( ( z #  w  /\  ( abs `  (
z  -  w ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( f `  z
)  -  u ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )
3816, 37anbi12d 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( w  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( f `  z )  -  u
) )  <  x
) )  <->  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  x ) ) ) )
3914, 38anbi12d 462 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  ( ( ( f : dom  f --> CC 
/\  dom  f  C_  CC )  /\  (
w  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )  <-> 
( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) ) )
4039rabbidv 2647 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  w  =  B )  ->  { u  e.  CC  |  ( ( f : dom  f --> CC 
/\  dom  f  C_  CC )  /\  (
w  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) }  =  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) } )
41 df-limced 12668 . . . . . 6  |- lim CC  =  ( f  e.  ( CC  ^pm  CC ) ,  w  e.  CC  |->  { u  e.  CC  |  ( ( f : dom  f --> CC 
/\  dom  f  C_  CC )  /\  (
w  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  f ( ( z #  w  /\  ( abs `  ( z  -  w ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( f `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) } )
4240, 41ovmpoga 5866 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( CC 
^pm  CC )  /\  B  e.  CC  /\  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) }  e.  _V )  ->  ( F lim CC  B
)  =  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) } )
436, 7, 9, 42syl3anc 1199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F lim CC  B
)  =  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) } )
4443eleq2d 2185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
C  e.  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) } ) )
45 oveq2 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  C  ->  (
( F `  z
)  -  u )  =  ( ( F `
 z )  -  C ) )
4645fveq2d 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  C  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  =  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) ) )
4746breq1d 3907 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  C  ->  (
( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) )
4847imbi2d 229 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  x )  <-> 
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
4948ralbidv 2412 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  C  ->  ( A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  u ) )  <  x )  <->  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
5049rexbidv 2413 . . . . . . 7  |-  ( u  =  C  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
5150ralbidv 2412 . . . . . 6  |-  ( u  =  C  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) )
5251anbi2d 457 . . . . 5  |-  ( u  =  C  ->  (
( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) )  <->  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
5352anbi2d 457 . . . 4  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) )  <-> 
( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
5453elrab 2811 . . 3  |-  ( C  e.  { u  e.  CC  |  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  u ) )  < 
x ) ) ) }  <->  ( C  e.  CC  /\  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
5544, 54syl6bb 195 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) ) )
567biantrurd 301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
573fdmd 5247 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5857feq2d 5228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> CC  <->  F : A --> CC ) )
593, 58mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
6057, 4eqsstrd 3101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
61 ibar 297 . . . . 5  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  ->  ( ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) )  <->  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
6259, 60, 61syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) )  <->  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
6356, 62bitrd 187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <-> 
( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) )
6463anbi2d 457 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  ( ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) ) ) )
65 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ z A
6619, 65raleqf 2597 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
6757, 66syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x )  <->  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
6867rexbidv 2413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) )
6968ralbidv 2412 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F
( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B
) )  <  y
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  C
) )  <  x
) ) )
7069anbi2d 457 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  dom  F ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) )  <->  ( C  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( ( z #  B  /\  ( abs `  (
z  -  B ) )  <  y )  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  C ) )  <  x ) ) ) )
7155, 64, 703bitr2d 215 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( F lim CC  B )  <-> 
( C  e.  CC  /\ 
A. x  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. z  e.  A  ( (
z #  B  /\  ( abs `  ( z  -  B ) )  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( F `
 z )  -  C ) )  < 
x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   F/_wnfc 2243   A.wral 2391   E.wrex 2392   {crab 2395   _Vcvv 2658    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   dom cdm 4507   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    ^pm cpm 6509   CCcc 7582    < clt 7764    - cmin 7897   # cap 8306   RR+crp 9390   abscabs 10709   lim CC climc 12666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pm 6511  df-limced 12668
This theorem is referenced by:  ellimc3ap  12673  limcmpted  12675
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