Theorem islssm 14453

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssm	|- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)

Proof of Theorem islssm

Dummy variables s k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lssmex 14451	. 2 |- ( U e. S -> W e. _V )
3		eleq1w 2292	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
4	3	cbvexv 1967	. . . . 5 |- ( E. k k e. U <-> E. j j e. U )
5		ssel 3222	. . . . . . 7 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> k e. V ) )
6		lssset.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
7	6	basmex 13222	. . . . . . 7 |- ( k e. V -> W e. _V )
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> W e. _V ) )
9	8	exlimdv 1867	. . . . 5 |- ( U C_ V -> ( E. k k e. U -> W e. _V ) )
10	4, 9	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( U C_ V -> ( E. j j e. U -> W e. _V ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U ) -> W e. _V )
12	11	3adant3 1044	. 2 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) -> W e. _V )
13		lssset.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
14		lssset.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
15		lssset.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
16		lssset.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17	13, 14, 6, 15, 16, 1	lsssetm 14452	. . . 4 |- ( W e. _V -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
18	17	eleq2d 2301	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
19		basfn 13221	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
20		funfvex 5665	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
21	20	funfni 5439	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
22	19, 21	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) e. _V )
23	6, 22	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> V e. _V )
24		elpw2g 4251	. . . . . 6 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
26	25	anbi1d 465	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
27		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
28	27	exbidv 1873	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
29		eleq2 2295	. . . . . . . . 9 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
30	29	raleqbi1dv 2743	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
31	30	raleqbi1dv 2743	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
32	31	ralbidv 2533	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
33	28, 32	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
34	33	elrab 2963	. . . 4 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
35		3anass 1009	. . . 4 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
36	26, 34, 35	3bitr4g 223	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
37	18, 36	bitrd 188	. 2 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
38	2, 12, 37	pm5.21nii 712	1 |- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   Fn wfn 5328   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  Scalarcsca 13243   .scvsca 13244   LSubSpclss 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-lssm 14449

This theorem is referenced by:  islidlm  14575