Theorem islssm 14666

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssm	|- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)

Proof of Theorem islssm

Dummy variables s k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lssmex 14664	. 2 |- ( U e. S -> W e. _V )
3		eleq1w 2299	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
4	3	cbvexv 1974	. . . . 5 |- ( E. k k e. U <-> E. j j e. U )
5		ssel 3242	. . . . . . 7 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> k e. V ) )
6		lssset.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
7	6	basmex 13390	. . . . . . 7 |- ( k e. V -> W e. _V )
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> W e. _V ) )
9	8	exlimdv 1872	. . . . 5 |- ( U C_ V -> ( E. k k e. U -> W e. _V ) )
10	4, 9	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( U C_ V -> ( E. j j e. U -> W e. _V ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U ) -> W e. _V )
12	11	3adant3 1048	. 2 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) -> W e. _V )
13		lssset.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
14		lssset.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
15		lssset.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
16		lssset.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17	13, 14, 6, 15, 16, 1	lsssetm 14665	. . . 4 |- ( W e. _V -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
18	17	eleq2d 2308	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
19		basfn 13389	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
20		funfvex 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
21	20	funfni 5478	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
22	19, 21	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) e. _V )
23	6, 22	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> V e. _V )
24		elpw2g 4287	. . . . . 6 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
26	25	anbi1d 469	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
27		eleq2 2302	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
28	27	exbidv 1878	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
29		eleq2 2302	. . . . . . . . 9 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
30	29	raleqbi1dv 2761	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
31	30	raleqbi1dv 2761	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
32	31	ralbidv 2550	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
33	28, 32	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
34	33	elrab 2982	. . . 4 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
35		3anass 1013	. . . 4 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
36	26, 34, 35	3bitr4g 223	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
37	18, 36	bitrd 188	. 2 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
38	2, 12, 37	pm5.21nii 716	1 |- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   LSubSpclss 14661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-lssm 14662

This theorem is referenced by:  islidlm  14788