Theorem islssm 13546

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssm	|- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)

Proof of Theorem islssm

Dummy variables s k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lssmex 13544	. 2 |- ( U e. S -> W e. _V )
3		eleq1w 2248	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
4	3	cbvexv 1928	. . . . 5 |- ( E. k k e. U <-> E. j j e. U )
5		ssel 3161	. . . . . . 7 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> k e. V ) )
6		lssset.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
7	6	basmex 12535	. . . . . . 7 |- ( k e. V -> W e. _V )
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> W e. _V ) )
9	8	exlimdv 1829	. . . . 5 |- ( U C_ V -> ( E. k k e. U -> W e. _V ) )
10	4, 9	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( U C_ V -> ( E. j j e. U -> W e. _V ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U ) -> W e. _V )
12	11	3adant3 1018	. 2 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) -> W e. _V )
13		lssset.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
14		lssset.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
15		lssset.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
16		lssset.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17	13, 14, 6, 15, 16, 1	lsssetm 13545	. . . 4 |- ( W e. _V -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
18	17	eleq2d 2257	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
19		basfn 12534	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
20		funfvex 5544	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
21	20	funfni 5328	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
22	19, 21	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) e. _V )
23	6, 22	eqeltrid 2274	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> V e. _V )
24		elpw2g 4168	. . . . . 6 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
26	25	anbi1d 465	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
27		eleq2 2251	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
28	27	exbidv 1835	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
29		eleq2 2251	. . . . . . . . 9 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
30	29	raleqbi1dv 2691	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
31	30	raleqbi1dv 2691	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
32	31	ralbidv 2487	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
33	28, 32	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
34	33	elrab 2905	. . . 4 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
35		3anass 983	. . . 4 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
36	26, 34, 35	3bitr4g 223	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
37	18, 36	bitrd 188	. 2 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
38	2, 12, 37	pm5.21nii 705	1 |- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   {crab 2469   _Vcvv 2749   C_ wss 3141   ~Pcpw 3587   Fn wfn 5223   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   +g cplusg 12551  Scalarcsca 12554   .scvsca 12555   LSubSpclss 13541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8934  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-lssm 13542

This theorem is referenced by:  islidlm  13668