Theorem islssm 13450

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssm	|- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)   X( x, j, a, b)

Proof of Theorem islssm

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
2		lssset.b	. . . 4 |- B = ( Base ` F )
3		lssset.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
4		lssset.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
5		lssset.t	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
6		lssset.s	. . . 4 |- S = ( LSubSp ` W )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lsssetm 13449	. . 3 |- ( W e. X -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
8	7	eleq2d 2247	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
9		basfn 12522	. . . . . . 7 |- Base Fn _V
10		elex 2750	. . . . . . 7 |- ( W e. X -> W e. _V )
11		funfvex 5534	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
12	11	funfni 5318	. . . . . . 7 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
13	9, 10, 12	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( W e. X -> ( Base ` W ) e. _V )
14	3, 13	eqeltrid 2264	. . . . 5 |- ( W e. X -> V e. _V )
15		elpw2g 4158	. . . . 5 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( W e. X -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
17	16	anbi1d 465	. . 3 |- ( W e. X -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
18		eleq2 2241	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
19	18	exbidv 1825	. . . . 5 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
20		eleq2 2241	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
21	20	raleqbi1dv 2681	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
22	21	raleqbi1dv 2681	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
23	22	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
24	19, 23	anbi12d 473	. . . 4 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
25	24	elrab 2895	. . 3 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
26		3anass 982	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
27	17, 25, 26	3bitr4g 223	. 2 |- ( W e. X -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
28	8, 27	bitrd 188	1 |- ( W e. X -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538  Scalarcsca 12541   .scvsca 12542   LSubSpclss 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-lssm 13448

This theorem is referenced by:  islssmd  13451  lssssg  13452  lssclg  13456  lss0cl  13461  islss4  13474  lsspropdg  13522