Theorem islssm 14321

Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssset.f	|- F = (Scalar ` W )
lssset.b	|- B = ( Base ` F )
lssset.v	|- V = ( Base ` W )
lssset.p	|- .+ = ( +g ` W )
lssset.t	|- .x. = ( .s ` W )
lssset.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
islssm	|- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Distinct variable groups:   x, B   a, b, x, W   U, a, b, x, j

Allowed substitution hints:   B( j, a, b)   .+ ( x, j, a, b)   S( x, j, a, b)   .x. ( x, j, a, b)   F( x, j, a, b)   V( x, j, a, b)   W( j)

Proof of Theorem islssm

Dummy variables s k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssset.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
2	1	lssmex 14319	. 2 |- ( U e. S -> W e. _V )
3		eleq1w 2290	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( k e. U <-> j e. U ) )
4	3	cbvexv 1965	. . . . 5 |- ( E. k k e. U <-> E. j j e. U )
5		ssel 3218	. . . . . . 7 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> k e. V ) )
6		lssset.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
7	6	basmex 13092	. . . . . . 7 |- ( k e. V -> W e. _V )
8	5, 7	syl6 33	. . . . . 6 |- ( U C_ V -> ( k e. U -> W e. _V ) )
9	8	exlimdv 1865	. . . . 5 |- ( U C_ V -> ( E. k k e. U -> W e. _V ) )
10	4, 9	biimtrrid 153	. . . 4 |- ( U C_ V -> ( E. j j e. U -> W e. _V ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U ) -> W e. _V )
12	11	3adant3 1041	. 2 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) -> W e. _V )
13		lssset.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
14		lssset.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` F )
15		lssset.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
16		lssset.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
17	13, 14, 6, 15, 16, 1	lsssetm 14320	. . . 4 |- ( W e. _V -> S = { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } )
18	17	eleq2d 2299	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } ) )
19		basfn 13091	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
20		funfvex 5644	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ W e. dom Base ) -> ( Base ` W ) e. _V )
21	20	funfni 5423	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ W e. _V ) -> ( Base ` W ) e. _V )
22	19, 21	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( W e. _V -> ( Base ` W ) e. _V )
23	6, 22	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( W e. _V -> V e. _V )
24		elpw2g 4240	. . . . . 6 |- ( V e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( W e. _V -> ( U e. ~P V <-> U C_ V ) )
26	25	anbi1d 465	. . . 4 |- ( W e. _V -> ( ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) ) )
27		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( j e. s <-> j e. U ) )
28	27	exbidv 1871	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( E. j j e. s <-> E. j j e. U ) )
29		eleq2 2293	. . . . . . . . 9 |- ( s = U -> ( ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
30	29	raleqbi1dv 2740	. . . . . . . 8 |- ( s = U -> ( A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
31	30	raleqbi1dv 2740	. . . . . . 7 |- ( s = U -> ( A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
32	31	ralbidv 2530	. . . . . 6 |- ( s = U -> ( A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s <-> A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )
33	28, 32	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( s = U -> ( ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) <-> ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
34	33	elrab 2959	. . . 4 |- ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U e. ~P V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
35		3anass 1006	. . . 4 |- ( ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) <-> ( U C_ V /\ ( E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
36	26, 34, 35	3bitr4g 223	. . 3 |- ( W e. _V -> ( U e. { s e. ~P V | ( E. j j e. s /\ A. x e. B A. a e. s A. b e. s ( ( x .x. a ) .+ b ) e. s ) } <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
37	18, 36	bitrd 188	. 2 |- ( W e. _V -> ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) ) )
38	2, 12, 37	pm5.21nii 709	1 |- ( U e. S <-> ( U C_ V /\ E. j j e. U /\ A. x e. B A. a e. U A. b e. U ( ( x .x. a ) .+ b ) e. U ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   ~Pcpw 3649   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110  Scalarcsca 13113   .scvsca 13114   LSubSpclss 14316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6004  df-inn 9111  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-lssm 14317

This theorem is referenced by:  islidlm  14443