Theorem eluz2nn 9689

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9400	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		1le2 9247	. . 3 |- 1 <_ 2
3		eluzuzle 9658	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 2 ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		nnuz 9686	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrrdi 2299	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   ` cfv 5272   1c1 7928   <_ cle 8110   NNcn 9038   2c2 9089   ZZcz 9374   ZZ>=cuz 9650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-2 9097  df-z 9375  df-uz 9651

This theorem is referenced by:  eluz4nn  9691  eluzge2nn0  9692  eluz2n0  9693  elnn1uz2  9730  zgt1rpn0n1  9819  modm1div  12144  isprm3  12473  isprm4  12474  prmind2  12475  nprm  12478  exprmfct  12493  prmdvdsfz  12494  isprm5lem  12496  isprm6  12502  phibndlem  12571  phibnd  12572  dfphi2  12575  pclemub  12643  pcprendvds2  12647  pcpre1  12648  dvdsprmpweqnn  12692  expnprm  12709  4sqlem15  12761  4sqlem16  12762  infpn2  12860  logbrec  15465  logbgcd1irr  15472  logbgcd1irraplemexp  15473  logbgcd1irraplemap  15474  mersenne  15502  lgsquad2lem2  15592  2sqlem6  15630