Theorem eluz2nn 9500

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9213	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		1le2 9061	. . 3 |- 1 <_ 2
3		eluzuzle 9470	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 2 ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		nnuz 9497	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrrdi 2259	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   class class class wbr 3981   ` cfv 5187   1c1 7750   <_ cle 7930   NNcn 8853   2c2 8904   ZZcz 9187   ZZ>=cuz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-2 8912  df-z 9188  df-uz 9463

This theorem is referenced by:  eluz4nn  9502  eluzge2nn0  9503  eluz2n0  9504  elnn1uz2  9541  zgt1rpn0n1  9627  modm1div  11736  isprm3  12046  isprm4  12047  prmind2  12048  nprm  12051  exprmfct  12066  prmdvdsfz  12067  isprm5lem  12069  isprm6  12075  phibndlem  12144  phibnd  12145  dfphi2  12148  pclemub  12215  pcprendvds2  12219  pcpre1  12220  dvdsprmpweqnn  12263  expnprm  12279  infpn2  12385  logbrec  13478  logbgcd1irr  13485  logbgcd1irraplemexp  13486  logbgcd1irraplemap  13487  2sqlem6  13556