Theorem eluz2nn 9483

Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluz2nn	|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Proof of Theorem eluz2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9199	. . 3 |- 1 e. ZZ
2		1le2 9047	. . 3 |- 1 <_ 2
3		eluzuzle 9453	. . 3 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 1 <_ 2 ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. 2 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ( ZZ>= ` 1 ) )
5		nnuz 9480	. 2 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	4, 5	eleqtrrdi 2251	1 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5173   1c1 7736   <_ cle 7916   NNcn 8839   2c2 8890   ZZcz 9173   ZZ>=cuz 9445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-fv 5181  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-2 8898  df-z 9174  df-uz 9446

This theorem is referenced by:  eluz4nn  9485  eluzge2nn0  9486  eluz2n0  9487  elnn1uz2  9524  zgt1rpn0n1  9609  modm1div  11708  isprm3  12011  isprm4  12012  prmind2  12013  nprm  12016  exprmfct  12031  prmdvdsfz  12032  isprm6  12038  phibndlem  12107  phibnd  12108  dfphi2  12111  pclemub  12178  pcprendvds2  12182  pcpre1  12183  logbrec  13374  logbgcd1irr  13381  logbgcd1irraplemexp  13382  logbgcd1irraplemap  13383