ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzuzle GIF version

Theorem eluzuzle 8959
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 8957 . 2 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
2 simpll 496 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 simpr2 948 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4 zre 8687 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
54ad2antrr 472 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 zre 8687 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
763ad2ant1 962 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantl 271 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 zre 8687 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
1093ad2ant2 963 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110adantl 271 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12 simplr 497 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐴)
13 simpr3 949 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐴𝐶)
145, 8, 11, 12, 13letrd 7551 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵𝐶)
15 eluz2 8957 . . . 4 (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐶))
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1125 . . 3 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
1716ex 113 . 2 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
181, 17syl5bi 150 1 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 922  wcel 1436   class class class wbr 3820  cfv 4981  cr 7293  cle 7467  cz 8683  cuz 8951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-pre-ltwlin 7402
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-ov 5616  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-neg 7600  df-z 8684  df-uz 8952
This theorem is referenced by:  eluz2nn  8989  uzuzle23  8991  eluzge3nn  8992
  Copyright terms: Public domain W3C validator