Theorem eluzuzle 9883

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9880	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simpr2 1031	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		zre 9601	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		zre 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpr3 1032	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 8414	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		eluz2 9880	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1208	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
17	16	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	1, 17	biimtrid 152	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  ℝcr 8142   ≤ cle 8325  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltwlin 8256

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-neg 8464  df-z 9598  df-uz 9875

This theorem is referenced by:  uzuzle23  9915  uzuzle24  9916  uzuzle34  9917  eluz2nn  9919  eluz4eluz2  9921  eluzge3nn  9925