Theorem eluzuzle 9691

Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzuzle	⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Proof of Theorem eluzuzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9689	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
2		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		simpr2 1007	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		zre 9411	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6		zre 9411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7	6	3ad2ant1 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		zre 9411	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℝ)
10	9	3ad2ant2 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
12		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpr3 1008	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
14	5, 8, 11, 12, 13	letrd 8231	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
15		eluz2 9689	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
16	2, 3, 14, 15	syl3anbrc 1184	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
17	16	ex 115	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
18	1, 17	biimtrid 152	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  ℝcr 7959   ≤ cle 8143  ℤcz 9407  ℤ_≥cuz 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-neg 8281  df-z 9408  df-uz 9684

This theorem is referenced by:  eluz2nn  9722  eluz4eluz2  9723  uzuzle23  9727  eluzge3nn  9728