Theorem letrd 7910

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 7871	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1217	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 430	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   <_ cle 7825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830

This theorem is referenced by:  eluzuzle  9358  fzdisj  9863  difelfzle  9942  flqwordi  10092  btwnzge0  10104  flqleceil  10121  modqltm1p1mod  10180  seq3split  10283  iseqf1olemqcl  10290  iseqf1olemnab  10292  iseqf1olemab  10293  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3f1olemqsumk  10303  seq3f1olemqsum  10304  bernneq  10443  bernneq3  10445  nn0opthlem2d  10499  faclbnd  10519  facubnd  10523  seq3coll  10617  resqrexlemover  10814  resqrexlemdecn  10816  resqrexlemcalc3  10820  absle  10893  releabs  10900  maxleastb  11018  climsqz  11136  climsqz2  11137  fsum3cvg3  11197  expcnvap0  11303  geolim2  11313  cvgratnnlemabsle  11328  cvgratnnlemfm  11330  cvgratnnlemrate  11331  cvgratz  11333  mertenslem2  11337  eftlub  11433  cos12dec  11510  divalglemnqt  11653  infssuzex  11678  ncoprmgcdne1b  11806  ennnfoneleminc  11960  ennnfonelemkh  11961  strleund  12086  suplociccex  12811  ivthinclemlopn  12822  ivthinclemuopn  12824  dveflem  12895  cosordlem  12978  rpabscxpbnd  13067