Theorem letrd 8281

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8240	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 8009   <_ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-pre-ltwlin 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9526  eluzuzle  9742  infregelbex  9805  fzdisj  10260  difelfzle  10342  infssuzex  10465  suprzubdc  10468  flqwordi  10520  btwnzge0  10532  fldiv4lem1div2uz2  10538  flqleceil  10551  modqltm1p1mod  10610  seq3split  10722  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemab  10736  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemqsum  10747  seqf1oglem1  10753  seqfeq4g  10765  bernneq  10894  bernneq3  10896  zzlesq  10942  nn0opthlem2d  10955  faclbnd  10975  facubnd  10979  seq3coll  11077  resqrexlemover  11537  resqrexlemdecn  11539  resqrexlemcalc3  11543  absle  11616  releabs  11623  maxleastb  11741  nn0maxcl  11752  climsqz  11862  climsqz2  11863  fsum3cvg3  11923  expcnvap0  12029  geolim2  12039  cvgratnnlemabsle  12054  cvgratnnlemfm  12056  cvgratnnlemrate  12057  cvgratz  12059  mertenslem2  12063  eftlub  12217  cos12dec  12295  divalglemnqt  12447  bitsfzo  12482  ncoprmgcdne1b  12627  prmdc  12668  isprm5lem  12679  eulerthlemrprm  12767  eulerthlema  12768  pcmpt2  12883  pcfac  12889  4sqexercise2  12938  4sqlemsdc  12939  4sqlem11  12940  ennnfoneleminc  12998  ennnfonelemkh  12999  nninfdclemlt  13038  strleund  13152  strext  13154  gsumfzfsumlemm  14567  psrbaglesuppg  14652  suplociccex  15315  ivthinclemlopn  15326  ivthinclemuopn  15328  dveflem  15416  cosordlem  15539  rpabscxpbnd  15630  lgsdirprm  15729  lgsquadlem1  15772  2lgslem1c  15785  2sqlem8  15818