Theorem letrd 8196

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8155	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   RRcr 7924   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltwlin 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9441  eluzuzle  9656  infregelbex  9719  fzdisj  10174  difelfzle  10256  infssuzex  10376  suprzubdc  10379  flqwordi  10431  btwnzge0  10443  fldiv4lem1div2uz2  10449  flqleceil  10462  modqltm1p1mod  10521  seq3split  10633  iseqf1olemqcl  10644  iseqf1olemnab  10646  iseqf1olemab  10647  seq3f1olemqsumkj  10656  seq3f1olemqsumk  10657  seq3f1olemqsum  10658  seqf1oglem1  10664  seqfeq4g  10676  bernneq  10805  bernneq3  10807  zzlesq  10853  nn0opthlem2d  10866  faclbnd  10886  facubnd  10890  seq3coll  10987  resqrexlemover  11321  resqrexlemdecn  11323  resqrexlemcalc3  11327  absle  11400  releabs  11407  maxleastb  11525  nn0maxcl  11536  climsqz  11646  climsqz2  11647  fsum3cvg3  11707  expcnvap0  11813  geolim2  11823  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  cvgratz  11843  mertenslem2  11847  eftlub  12001  cos12dec  12079  divalglemnqt  12231  bitsfzo  12266  ncoprmgcdne1b  12411  prmdc  12452  isprm5lem  12463  eulerthlemrprm  12551  eulerthlema  12552  pcmpt2  12667  pcfac  12673  4sqexercise2  12722  4sqlemsdc  12723  4sqlem11  12724  ennnfoneleminc  12782  ennnfonelemkh  12783  nninfdclemlt  12822  strleund  12935  strext  12937  gsumfzfsumlemm  14349  psrbaglesuppg  14434  suplociccex  15097  ivthinclemlopn  15108  ivthinclemuopn  15110  dveflem  15198  cosordlem  15321  rpabscxpbnd  15412  lgsdirprm  15511  lgsquadlem1  15554  2lgslem1c  15567  2sqlem8  15600