Theorem letrd 8198

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8157	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltwlin 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9443  eluzuzle  9658  infregelbex  9721  fzdisj  10176  difelfzle  10258  infssuzex  10378  suprzubdc  10381  flqwordi  10433  btwnzge0  10445  fldiv4lem1div2uz2  10451  flqleceil  10464  modqltm1p1mod  10523  seq3split  10635  iseqf1olemqcl  10646  iseqf1olemnab  10648  iseqf1olemab  10649  seq3f1olemqsumkj  10658  seq3f1olemqsumk  10659  seq3f1olemqsum  10660  seqf1oglem1  10666  seqfeq4g  10678  bernneq  10807  bernneq3  10809  zzlesq  10855  nn0opthlem2d  10868  faclbnd  10888  facubnd  10892  seq3coll  10989  resqrexlemover  11354  resqrexlemdecn  11356  resqrexlemcalc3  11360  absle  11433  releabs  11440  maxleastb  11558  nn0maxcl  11569  climsqz  11679  climsqz2  11680  fsum3cvg3  11740  expcnvap0  11846  geolim2  11856  cvgratnnlemabsle  11871  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  cvgratz  11876  mertenslem2  11880  eftlub  12034  cos12dec  12112  divalglemnqt  12264  bitsfzo  12299  ncoprmgcdne1b  12444  prmdc  12485  isprm5lem  12496  eulerthlemrprm  12584  eulerthlema  12585  pcmpt2  12700  pcfac  12706  4sqexercise2  12755  4sqlemsdc  12756  4sqlem11  12757  ennnfoneleminc  12815  ennnfonelemkh  12816  nninfdclemlt  12855  strleund  12968  strext  12970  gsumfzfsumlemm  14382  psrbaglesuppg  14467  suplociccex  15130  ivthinclemlopn  15141  ivthinclemuopn  15143  dveflem  15231  cosordlem  15354  rpabscxpbnd  15445  lgsdirprm  15544  lgsquadlem1  15587  2lgslem1c  15600  2sqlem8  15633