Theorem letrd 8457

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8414	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A <_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   <_ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltwlin 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372

This theorem is used by:  lesub3d  8898  nn0negleid  9722  eluzuzle  9945  infregelbex  10013  fzdisj  10473  difelfzle  10557  infssuzex  10682  suprzubdc  10687  flqwordi  10743  btwnzge0  10755  fldiv4lem1div2uz2  10761  flqleceil  10774  modqltm1p1mod  10833  seq3split  10945  iseqf1olemqcl  10956  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemab  10959  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1olemqsum  10970  seqf1oglem1  10976  seqfeq4g  10988  bernneq  11118  bernneq3  11120  zzlesq  11166  nn0opthlem2d  11180  faclbnd  11200  facubnd  11204  seq3coll  11315  resqrexlemover  11797  resqrexlemdecn  11799  resqrexlemcalc3  11803  absle  11877  releabs  11884  maxleastb  12002  nn0maxcl  12013  fiidxsupcl  12017  climsqz  12125  climsqz2  12126  fsum3cvg3  12187  expcnvap0  12293  geolim2  12303  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemfm  12320  cvgratnnlemrate  12321  cvgratz  12323  mertenslem2  12327  eftlub  12481  cos12dec  12559  divalglemnqt  12711  bitsfzo  12746  ncoprmgcdne1b  12891  prmdc  12932  isprm5lem  12944  eulerthlemrprm  13035  eulerthlema  13036  pcmpt2  13151  pcfac  13157  4sqexercise2  13206  4sqlemsdc  13207  4sqlem11  13208  ballotfilemsima  13316  ballotfilemfrcn0  13330  ennnfoneleminc  13359  ennnfonelemkh  13360  nninfdclemlt  13399  strleund  13515  strext  13517  psrbaglesuppg  15170  psrbaglefifi  15175  psrbagmaxlem1  15178  psrbagmaxlem1x  15181  psrbagmaxlem1y  15182  suplociccex  15868  ivthinclemlopn  15879  ivthinclemuopn  15881  dveflem  15969  cosordlem  16094  rpabscxpbnd  16192  pellexlem2  16247  ppiqub  16310  chtublem  16312  bcmono  16321  bpos1lem  16326  bposlem1  16328  bposlem2  16329  bposlem3  16330  bposlem4  16331  bposlem5  16332  bposlem6  16333  bposlem7  16334  bposlem9  16336  lgsdirprm  16375  lgsquadlem1  16418  2lgslem1c  16431  2sqlem8  16464