Theorem letrd 8362

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8321	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   RRcr 8091   <_ cle 8274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9609  eluzuzle  9825  infregelbex  9893  fzdisj  10349  difelfzle  10431  infssuzex  10556  suprzubdc  10559  flqwordi  10611  btwnzge0  10623  fldiv4lem1div2uz2  10629  flqleceil  10642  modqltm1p1mod  10701  seq3split  10813  iseqf1olemqcl  10824  iseqf1olemnab  10826  iseqf1olemab  10827  seq3f1olemqsumkj  10836  seq3f1olemqsumk  10837  seq3f1olemqsum  10838  seqf1oglem1  10844  seqfeq4g  10856  bernneq  10985  bernneq3  10987  zzlesq  11033  nn0opthlem2d  11046  faclbnd  11066  facubnd  11070  seq3coll  11169  resqrexlemover  11650  resqrexlemdecn  11652  resqrexlemcalc3  11656  absle  11729  releabs  11736  maxleastb  11854  nn0maxcl  11865  climsqz  11975  climsqz2  11976  fsum3cvg3  12037  expcnvap0  12143  geolim2  12153  cvgratnnlemabsle  12168  cvgratnnlemfm  12170  cvgratnnlemrate  12171  cvgratz  12173  mertenslem2  12177  eftlub  12331  cos12dec  12409  divalglemnqt  12561  bitsfzo  12596  ncoprmgcdne1b  12741  prmdc  12782  isprm5lem  12793  eulerthlemrprm  12881  eulerthlema  12882  pcmpt2  12997  pcfac  13003  4sqexercise2  13052  4sqlemsdc  13053  4sqlem11  13054  ennnfoneleminc  13112  ennnfonelemkh  13113  nninfdclemlt  13152  strleund  13266  strext  13268  gsumfzfsumlemm  14683  psrbaglesuppg  14768  suplociccex  15436  ivthinclemlopn  15447  ivthinclemuopn  15449  dveflem  15537  cosordlem  15660  rpabscxpbnd  15751  pellexlem2  15792  lgsdirprm  15853  lgsquadlem1  15896  2lgslem1c  15909  2sqlem8  15942