Theorem letrd 8399

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8358	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   RRcr 8128   <_ cle 8311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-pre-ltwlin 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9648  eluzuzle  9865  infregelbex  9933  fzdisj  10389  difelfzle  10472  infssuzex  10597  suprzubdc  10600  flqwordi  10652  btwnzge0  10664  fldiv4lem1div2uz2  10670  flqleceil  10683  modqltm1p1mod  10742  seq3split  10854  iseqf1olemqcl  10865  iseqf1olemnab  10867  iseqf1olemab  10868  seq3f1olemqsumkj  10877  seq3f1olemqsumk  10878  seq3f1olemqsum  10879  seqf1oglem1  10885  seqfeq4g  10897  bernneq  11026  bernneq3  11028  zzlesq  11074  nn0opthlem2d  11087  faclbnd  11107  facubnd  11111  seq3coll  11218  resqrexlemover  11699  resqrexlemdecn  11701  resqrexlemcalc3  11705  absle  11778  releabs  11785  maxleastb  11903  nn0maxcl  11914  climsqz  12024  climsqz2  12025  fsum3cvg3  12086  expcnvap0  12192  geolim2  12202  cvgratnnlemabsle  12217  cvgratnnlemfm  12219  cvgratnnlemrate  12220  cvgratz  12222  mertenslem2  12226  eftlub  12380  cos12dec  12458  divalglemnqt  12610  bitsfzo  12645  ncoprmgcdne1b  12790  prmdc  12831  isprm5lem  12842  eulerthlemrprm  12930  eulerthlema  12931  pcmpt2  13046  pcfac  13052  4sqexercise2  13101  4sqlemsdc  13102  4sqlem11  13103  ennnfoneleminc  13179  ennnfonelemkh  13180  nninfdclemlt  13219  strleund  13333  strext  13335  gsumfzfsumlemm  14752  psrbaglesuppg  14838  suplociccex  15507  ivthinclemlopn  15518  ivthinclemuopn  15520  dveflem  15608  cosordlem  15731  rpabscxpbnd  15822  pellexlem2  15863  lgsdirprm  15924  lgsquadlem1  15967  2lgslem1c  15980  2sqlem8  16013