Theorem letrd 8231

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8190	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   RRcr 7959   <_ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-pre-ltwlin 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9476  eluzuzle  9691  infregelbex  9754  fzdisj  10209  difelfzle  10291  infssuzex  10413  suprzubdc  10416  flqwordi  10468  btwnzge0  10480  fldiv4lem1div2uz2  10486  flqleceil  10499  modqltm1p1mod  10558  seq3split  10670  iseqf1olemqcl  10681  iseqf1olemnab  10683  iseqf1olemab  10684  seq3f1olemqsumkj  10693  seq3f1olemqsumk  10694  seq3f1olemqsum  10695  seqf1oglem1  10701  seqfeq4g  10713  bernneq  10842  bernneq3  10844  zzlesq  10890  nn0opthlem2d  10903  faclbnd  10923  facubnd  10927  seq3coll  11024  resqrexlemover  11436  resqrexlemdecn  11438  resqrexlemcalc3  11442  absle  11515  releabs  11522  maxleastb  11640  nn0maxcl  11651  climsqz  11761  climsqz2  11762  fsum3cvg3  11822  expcnvap0  11928  geolim2  11938  cvgratnnlemabsle  11953  cvgratnnlemfm  11955  cvgratnnlemrate  11956  cvgratz  11958  mertenslem2  11962  eftlub  12116  cos12dec  12194  divalglemnqt  12346  bitsfzo  12381  ncoprmgcdne1b  12526  prmdc  12567  isprm5lem  12578  eulerthlemrprm  12666  eulerthlema  12667  pcmpt2  12782  pcfac  12788  4sqexercise2  12837  4sqlemsdc  12838  4sqlem11  12839  ennnfoneleminc  12897  ennnfonelemkh  12898  nninfdclemlt  12937  strleund  13050  strext  13052  gsumfzfsumlemm  14464  psrbaglesuppg  14549  suplociccex  15212  ivthinclemlopn  15223  ivthinclemuopn  15225  dveflem  15313  cosordlem  15436  rpabscxpbnd  15527  lgsdirprm  15626  lgsquadlem1  15669  2lgslem1c  15682  2sqlem8  15715