Theorem letrd 8270

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8229	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1271	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   <_ cle 8182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltwlin 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9515  eluzuzle  9730  infregelbex  9793  fzdisj  10248  difelfzle  10330  infssuzex  10453  suprzubdc  10456  flqwordi  10508  btwnzge0  10520  fldiv4lem1div2uz2  10526  flqleceil  10539  modqltm1p1mod  10598  seq3split  10710  iseqf1olemqcl  10721  iseqf1olemnab  10723  iseqf1olemab  10724  seq3f1olemqsumkj  10733  seq3f1olemqsumk  10734  seq3f1olemqsum  10735  seqf1oglem1  10741  seqfeq4g  10753  bernneq  10882  bernneq3  10884  zzlesq  10930  nn0opthlem2d  10943  faclbnd  10963  facubnd  10967  seq3coll  11064  resqrexlemover  11521  resqrexlemdecn  11523  resqrexlemcalc3  11527  absle  11600  releabs  11607  maxleastb  11725  nn0maxcl  11736  climsqz  11846  climsqz2  11847  fsum3cvg3  11907  expcnvap0  12013  geolim2  12023  cvgratnnlemabsle  12038  cvgratnnlemfm  12040  cvgratnnlemrate  12041  cvgratz  12043  mertenslem2  12047  eftlub  12201  cos12dec  12279  divalglemnqt  12431  bitsfzo  12466  ncoprmgcdne1b  12611  prmdc  12652  isprm5lem  12663  eulerthlemrprm  12751  eulerthlema  12752  pcmpt2  12867  pcfac  12873  4sqexercise2  12922  4sqlemsdc  12923  4sqlem11  12924  ennnfoneleminc  12982  ennnfonelemkh  12983  nninfdclemlt  13022  strleund  13136  strext  13138  gsumfzfsumlemm  14551  psrbaglesuppg  14636  suplociccex  15299  ivthinclemlopn  15310  ivthinclemuopn  15312  dveflem  15400  cosordlem  15523  rpabscxpbnd  15614  lgsdirprm  15713  lgsquadlem1  15756  2lgslem1c  15769  2sqlem8  15802