Theorem letrd 8095

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8054	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1248	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 433	1 |- ( ph -> A <_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   RRcr 7824   <_ cle 8007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltwlin 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012

This theorem is referenced by:  nn0negleid  9335  eluzuzle  9550  infregelbex  9612  fzdisj  10066  difelfzle  10148  flqwordi  10302  btwnzge0  10314  flqleceil  10331  modqltm1p1mod  10390  seq3split  10493  iseqf1olemqcl  10500  iseqf1olemnab  10502  iseqf1olemab  10503  seq3f1olemqsumkj  10512  seq3f1olemqsumk  10513  seq3f1olemqsum  10514  bernneq  10655  bernneq3  10657  nn0opthlem2d  10715  faclbnd  10735  facubnd  10739  seq3coll  10836  resqrexlemover  11033  resqrexlemdecn  11035  resqrexlemcalc3  11039  absle  11112  releabs  11119  maxleastb  11237  climsqz  11357  climsqz2  11358  fsum3cvg3  11418  expcnvap0  11524  geolim2  11534  cvgratnnlemabsle  11549  cvgratnnlemfm  11551  cvgratnnlemrate  11552  cvgratz  11554  mertenslem2  11558  eftlub  11712  cos12dec  11789  divalglemnqt  11939  infssuzex  11964  suprzubdc  11967  ncoprmgcdne1b  12103  prmdc  12144  isprm5lem  12155  eulerthlemrprm  12243  eulerthlema  12244  pcmpt2  12356  pcfac  12362  ennnfoneleminc  12426  ennnfonelemkh  12427  nninfdclemlt  12466  strleund  12577  strext  12579  suplociccex  14399  ivthinclemlopn  14410  ivthinclemuopn  14412  dveflem  14483  cosordlem  14566  rpabscxpbnd  14655  lgsdirprm  14731  2sqlem8  14766