Theorem letrd 8452

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )
letrd.3	|- ( ph -> C e. RR )
letrd.4	|- ( ph -> A <_ B )
letrd.5	|- ( ph -> B <_ C )

Assertion

Ref	Expression
letrd	|- ( ph -> A <_ C )

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		letrd.5	. 2 |- ( ph -> B <_ C )
3		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		ltd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
5		letrd.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		letr 8409	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C ) )
8	1, 2, 7	mp2and 437	1 |- ( ph -> A <_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8179   <_ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltwlin 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367

This theorem is used by:  lesub3d  8893  nn0negleid  9718  eluzuzle  9940  infregelbex  10008  fzdisj  10468  difelfzle  10552  infssuzex  10677  suprzubdc  10682  flqwordi  10738  btwnzge0  10750  fldiv4lem1div2uz2  10756  flqleceil  10769  modqltm1p1mod  10828  seq3split  10940  iseqf1olemqcl  10951  iseqf1olemnab  10953  iseqf1olemab  10954  seq3f1olemqsumkj  10963  seq3f1olemqsumk  10964  seq3f1olemqsum  10965  seqf1oglem1  10971  seqfeq4g  10983  bernneq  11113  bernneq3  11115  zzlesq  11161  nn0opthlem2d  11175  faclbnd  11195  facubnd  11199  seq3coll  11310  resqrexlemover  11792  resqrexlemdecn  11794  resqrexlemcalc3  11798  absle  11872  releabs  11879  maxleastb  11997  nn0maxcl  12008  fiidxsupcl  12012  climsqz  12120  climsqz2  12121  fsum3cvg3  12182  expcnvap0  12288  geolim2  12298  cvgratnnlemabsle  12313  cvgratnnlemfm  12315  cvgratnnlemrate  12316  cvgratz  12318  mertenslem2  12322  eftlub  12476  cos12dec  12554  divalglemnqt  12706  bitsfzo  12741  ncoprmgcdne1b  12886  prmdc  12927  isprm5lem  12939  eulerthlemrprm  13030  eulerthlema  13031  pcmpt2  13146  pcfac  13152  4sqexercise2  13201  4sqlemsdc  13202  4sqlem11  13203  ballotfilemsima  13311  ballotfilemfrcn0  13325  ennnfoneleminc  13354  ennnfonelemkh  13355  nninfdclemlt  13394  strleund  13510  strext  13512  psrbaglesuppg  15141  psrbaglefifi  15147  suplociccex  15817  ivthinclemlopn  15828  ivthinclemuopn  15830  dveflem  15918  cosordlem  16042  rpabscxpbnd  16137  pellexlem2  16191  ppiqub  16254  chtublem  16256  bcmono  16265  bpos1lem  16270  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem6  16277  bposlem7  16278  bposlem9  16280  lgsdirprm  16319  lgsquadlem1  16362  2lgslem1c  16375  2sqlem8  16408