Theorem en2prde 7397

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2prde	|- ( V ~~ 2o -> E. a E. b ( a =/= b /\ V = { a , b } ) )

Distinct variable group:   V, a, b

Proof of Theorem en2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 6997	. 2 |- ( V ~~ 2o -> E. a E. b V = { a , b } )
2		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( V = { a , b } -> ( V ~~ 2o <-> { a , b } ~~ 2o ) )
3		pr2ne 7396	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ b e. _V ) -> ( { a , b } ~~ 2o <-> a =/= b ) )
4	3	el2v 2808	. . . . . 6 |- ( { a , b } ~~ 2o <-> a =/= b )
5	2, 4	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( V = { a , b } -> ( V ~~ 2o <-> a =/= b ) )
6	5	biimpcd 159	. . . 4 |- ( V ~~ 2o -> ( V = { a , b } -> a =/= b ) )
7	6	ancrd 326	. . 3 |- ( V ~~ 2o -> ( V = { a , b } -> ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
8	7	2eximdv 1930	. 2 |- ( V ~~ 2o -> ( E. a E. b V = { a , b } -> E. a E. b ( a =/= b /\ V = { a , b } ) ) )
9	1, 8	mpd 13	1 |- ( V ~~ 2o -> E. a E. b ( a =/= b /\ V = { a , b } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   =/= wne 2402   _Vcvv 2802   {cpr 3670   class class class wbr 4088   2oc2o 6575   ~~ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909

This theorem is referenced by:  umgredg  15995