Theorem en2prde 7387

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2prde	⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem en2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 6991	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		breq1 4087	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ {𝑎, 𝑏} ≈ 2o))
3		pr2ne 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
4	3	el2v 2806	. . . . . 6 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
5	2, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6	5	biimpcd 159	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	6	ancrd 326	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	2eximdv 1928	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ≠ wne 2400  Vcvv 2800  {cpr 3668   class class class wbr 4084  2_oc2o 6569   ≈ cen 6900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-1o 6575  df-2o 6576  df-er 6695  df-en 6903

This theorem is referenced by:  umgredg  15980