Theorem en2prde 7322

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2prde	⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem en2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 6931	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		breq1 4057	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ {𝑎, 𝑏} ≈ 2o))
3		pr2ne 7321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
4	3	el2v 2779	. . . . . 6 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
5	2, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6	5	biimpcd 159	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	6	ancrd 326	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	2eximdv 1906	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ≠ wne 2377  Vcvv 2773  {cpr 3639   class class class wbr 4054  2_oc2o 6514   ≈ cen 6843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846

This theorem is referenced by:  umgredg  15819