Theorem en2prde 7532

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2prde	⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem en2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 7105	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		breq1 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ {𝑎, 𝑏} ≈ 2o))
3		pr2ne 7531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
4	3	el2v 2827	. . . . . 6 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
5	2, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6	5	biimpcd 159	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	6	ancrd 326	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	2eximdv 1935	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ≠ wne 2420  Vcvv 2821  {cpr 3709   class class class wbr 4128  2_oc2o 6674   ≈ cen 7013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6680  df-2o 6681  df-er 6800  df-en 7016

This theorem is referenced by:  umgredg  16303