Theorem en2prde 7492

Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en2prde	⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Proof of Theorem en2prde

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2 7067	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2		breq1 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ {𝑎, 𝑏} ≈ 2o))
3		pr2ne 7491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
4	3	el2v 2821	. . . . . 6 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
5	2, 4	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 ≈ 2o ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6	5	biimpcd 159	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	6	ancrd 326	. . 3 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
8	7	2eximdv 1931	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → (∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
9	1, 8	mpd 13	1 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ≠ wne 2414  Vcvv 2815  {cpr 3692   class class class wbr 4111  2_oc2o 6643   ≈ cen 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978

This theorem is referenced by:  umgredg  16157