ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eninr GIF version

Theorem eninr 7094
Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
eninr (𝐴𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninr
StepHypRef Expression
1 djurf1or 7053 . . . 4 (inr ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({1o} × 𝐴)
2 f1oeng 6754 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (inr ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({1o} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
31, 2mpan2 425 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
4 df-ima 4638 . . . 4 (inr “ 𝐴) = ran (inr ↾ 𝐴)
5 dff1o5 5469 . . . . . 6 ((inr ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({1o} × 𝐴) ↔ ((inr ↾ 𝐴):𝐴1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)))
61, 5mpbi 145 . . . . 5 ((inr ↾ 𝐴):𝐴1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴))
76simpri 113 . . . 4 ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
84, 7eqtri 2198 . . 3 (inr “ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
93, 8breqtrrdi 4044 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (inr “ 𝐴))
109ensymd 6780 1 (𝐴𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3592   class class class wbr 4002   × cxp 4623  ran crn 4626  cres 4627  cima 4628  1-1wf1 5212  1-1-ontowf1o 5214  1oc1o 6407  cen 6735  inrcinr 7042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6414  df-er 6532  df-en 6738  df-inr 7044
This theorem is referenced by:  endjudisj  7206  djuen  7207
  Copyright terms: Public domain W3C validator