ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eninr GIF version

Theorem eninr 6949
Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
eninr (𝐴𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninr
StepHypRef Expression
1 djurf1or 6908 . . . 4 (inr ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({1o} × 𝐴)
2 f1oeng 6617 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (inr ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({1o} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
31, 2mpan2 419 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
4 df-ima 4520 . . . 4 (inr “ 𝐴) = ran (inr ↾ 𝐴)
5 dff1o5 5342 . . . . . 6 ((inr ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto→({1o} × 𝐴) ↔ ((inr ↾ 𝐴):𝐴1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)))
61, 5mpbi 144 . . . . 5 ((inr ↾ 𝐴):𝐴1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴))
76simpri 112 . . . 4 ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
84, 7eqtri 2136 . . 3 (inr “ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
93, 8breqtrrdi 3938 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ≈ (inr “ 𝐴))
109ensymd 6643 1 (𝐴𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  {csn 3495   class class class wbr 3897   × cxp 4505  ran crn 4508  cres 4509  cima 4510  1-1wf1 5088  1-1-ontowf1o 5090  1oc1o 6272  cen 6598  inrcinr 6897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-inr 6899
This theorem is referenced by:  endjudisj  7030  djuen  7031
  Copyright terms: Public domain W3C validator