Theorem eninr 7159

Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1or 7118	. . . 4 ⊢ (inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({1o} × 𝐴)
2		f1oeng 6813	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({1o} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
4		df-ima 4673	. . . 4 ⊢ (inr “ 𝐴) = ran (inr ↾ 𝐴)
5		dff1o5 5510	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({1o} × 𝐴) ↔ ((inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)))
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
8	4, 7	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (inr “ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
9	3, 8	breqtrrdi 4072	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (inr “ 𝐴))
10	9	ensymd 6839	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3619   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ran crn 4661   ↾ cres 4662   “ cima 4663  –1-1→wf1 5252  –1-1-onto→wf1o 5254  1_oc1o 6464   ≈ cen 6794  inrcinr 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-er 6589  df-en 6797  df-inr 7109

This theorem is referenced by:  endjudisj  7272  djuen  7273