Theorem eninr 7164

Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem eninr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1or 7123	. . . 4 ⊢ (inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({1o} × 𝐴)
2		f1oeng 6816	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({1o} × 𝐴)) → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ ({1o} × 𝐴))
4		df-ima 4676	. . . 4 ⊢ (inr “ 𝐴) = ran (inr ↾ 𝐴)
5		dff1o5 5513	. . . . . 6 ⊢ ((inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→({1o} × 𝐴) ↔ ((inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)))
6	1, 5	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ ((inr ↾ 𝐴):𝐴–1-1→({1o} × 𝐴) ∧ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴))
7	6	simpri 113	. . . 4 ⊢ ran (inr ↾ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
8	4, 7	eqtri 2217	. . 3 ⊢ (inr “ 𝐴) = ({1o} × 𝐴)
9	3, 8	breqtrrdi 4075	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ (inr “ 𝐴))
10	9	ensymd 6842	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (inr “ 𝐴) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3622   class class class wbr 4033   × cxp 4661  ran crn 4664   ↾ cres 4665   “ cima 4666  –1-1→wf1 5255  –1-1-onto→wf1o 5257  1_oc1o 6467   ≈ cen 6797  inrcinr 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-inr 7114

This theorem is referenced by:  endjudisj  7277  djuen  7278