Theorem frecuzrdgtclt 9889

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgtclt.3	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	|- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 9888	. . . 4 |- ( ph -> Fun ran R )
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 |- ( ph -> P = ran R )
8	7	funeqd 5050	. . . 4 |- ( ph -> ( Fun P <-> Fun ran R ) )
9	6, 8	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> Fun P )
10	7	dmeqd 4651	. . . 4 |- ( ph -> dom P = dom ran R )
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 9886	. . . 4 |- ( ph -> dom ran R = ( ZZ>= ` C ) )
12	10, 11	eqtrd 2121	. . 3 |- ( ph -> dom P = ( ZZ>= ` C ) )
13		df-fn 5031	. . 3 |- ( P Fn ( ZZ>= ` C ) <-> ( Fun P /\ dom P = ( ZZ>= ` C ) ) )
14	9, 12, 13	sylanbrc 409	. 2 |- ( ph -> P Fn ( ZZ>= ` C ) )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 9883	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		frn 5182	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
18	7, 17	eqsstrd 3061	. 2 |- ( ph -> P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
19		dff2 5457	. 2 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S <-> ( P Fn ( ZZ>= ` C ) /\ P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) )
20	14, 18, 19	sylanbrc 409	1 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   C_ wss 3000   <.cop 3453   omcom 4418   X. cxp 4450   dom cdm 4452   ran crn 4453   Fun wfun 5022   Fn wfn 5023   -->wf 5024   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   |-> cmpt2 5668  freccfrec 6169   1c1 7412   + caddc 7414   ZZcz 8811   ZZ>=cuz 9080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  9890  frecuzrdgsuctlem  9891  iseqfclt  9940  seqf  9941