ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgtclt Unicode version

Theorem frecuzrdgtclt 10370
Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frecuzrdgrclt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
frecuzrdgrclt.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrclt.r  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdgtclt.3  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgtclt  |-  ( ph  ->  P : ( ZZ>= `  C ) --> S )
Distinct variable groups:    x, C, y   
x, F, y    x, S, y    x, T, y    ph, x, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frecuzrdgrclt.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 frecuzrdgrclt.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
4 frecuzrdgrclt.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrclt.r . . . . 5  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgfun 10369 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ran  R )
7 frecuzrdgtclt.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
87funeqd 5218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Fun  P  <->  Fun  ran  R
) )
96, 8mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  P )
107dmeqd 4811 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  P  =  dom  ran 
R )
111, 2, 3, 4, 5frecuzrdgdom 10367 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ran  R  =  ( ZZ>= `  C )
)
1210, 11eqtrd 2203 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  P  =  (
ZZ>= `  C ) )
13 df-fn 5199 . . 3  |-  ( P  Fn  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( Fun  P  /\  dom  P  =  (
ZZ>= `  C ) ) )
149, 12, 13sylanbrc 415 . 2  |-  ( ph  ->  P  Fn  ( ZZ>= `  C ) )
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10364 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
16 frn 5354 . . . 4  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  ran  R 
C_  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S
) )
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  R  C_  (
( ZZ>= `  C )  X.  S ) )
187, 17eqsstrd 3183 . 2  |-  ( ph  ->  P  C_  ( ( ZZ>=
`  C )  X.  S ) )
19 dff2 5638 . 2  |-  ( P : ( ZZ>= `  C
) --> S  <->  ( P  Fn  ( ZZ>= `  C )  /\  P  C_  ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) ) )
2014, 18, 19sylanbrc 415 1  |-  ( ph  ->  P : ( ZZ>= `  C ) --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141    C_ wss 3121   <.cop 3584   omcom 4572    X. cxp 4607   dom cdm 4609   ran crn 4610   Fun wfun 5190    Fn wfn 5191   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5851    e. cmpo 5853  freccfrec 6367   1c1 7768    + caddc 7770   ZZcz 9205   ZZ>=cuz 9480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-addcom 7867  ax-addass 7869  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-ltadd 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-inn 8872  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481
This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10371  frecuzrdgsuctlem  10372  seqf  10410  seqf2  10413
  Copyright terms: Public domain W3C validator