ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgtclt Unicode version

Theorem frecuzrdgtclt 10187
Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frecuzrdgrclt.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frecuzrdgrclt.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
frecuzrdgrclt.t  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
frecuzrdgrclt.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
frecuzrdgrclt.r  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
frecuzrdgtclt.3  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgtclt  |-  ( ph  ->  P : ( ZZ>= `  C ) --> S )
Distinct variable groups:    x, C, y   
x, F, y    x, S, y    x, T, y    ph, x, y    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgrclt.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frecuzrdgrclt.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
3 frecuzrdgrclt.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  T )
4 frecuzrdgrclt.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  y  e.  S
) )  ->  (
x F y )  e.  S )
5 frecuzrdgrclt.r . . . . 5  |-  R  = frec ( ( x  e.  ( ZZ>= `  C ) ,  y  e.  T  |-> 
<. ( x  +  1 ) ,  ( x F y ) >.
) ,  <. C ,  A >. )
61, 2, 3, 4, 5frecuzrdgfun 10186 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  ran  R )
7 frecuzrdgtclt.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =  ran  R
)
87funeqd 5140 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Fun  P  <->  Fun  ran  R
) )
96, 8mpbird 166 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  P )
107dmeqd 4736 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  P  =  dom  ran 
R )
111, 2, 3, 4, 5frecuzrdgdom 10184 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ran  R  =  ( ZZ>= `  C )
)
1210, 11eqtrd 2170 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  P  =  (
ZZ>= `  C ) )
13 df-fn 5121 . . 3  |-  ( P  Fn  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( Fun  P  /\  dom  P  =  (
ZZ>= `  C ) ) )
149, 12, 13sylanbrc 413 . 2  |-  ( ph  ->  P  Fn  ( ZZ>= `  C ) )
151, 2, 3, 4, 5frecuzrdgrclt 10181 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) )
16 frn 5276 . . . 4  |-  ( R : om --> ( (
ZZ>= `  C )  X.  S )  ->  ran  R 
C_  ( ( ZZ>= `  C )  X.  S
) )
1715, 16syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  R  C_  (
( ZZ>= `  C )  X.  S ) )
187, 17eqsstrd 3128 . 2  |-  ( ph  ->  P  C_  ( ( ZZ>=
`  C )  X.  S ) )
19 dff2 5557 . 2  |-  ( P : ( ZZ>= `  C
) --> S  <->  ( P  Fn  ( ZZ>= `  C )  /\  P  C_  ( (
ZZ>= `  C )  X.  S ) ) )
2014, 18, 19sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  P : ( ZZ>= `  C ) --> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3066   <.cop 3525   omcom 4499    X. cxp 4532   dom cdm 4534   ran crn 4535   Fun wfun 5112    Fn wfn 5113   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767    e. cmpo 5769  freccfrec 6280   1c1 7614    + caddc 7616   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320
This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10188  frecuzrdgsuctlem  10189  seqf  10227  seqf2  10230
  Copyright terms: Public domain W3C validator