Theorem frecuzrdgtclt 10682

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgtclt.3	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	|- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10681	. . . 4 |- ( ph -> Fun ran R )
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 |- ( ph -> P = ran R )
8	7	funeqd 5348	. . . 4 |- ( ph -> ( Fun P <-> Fun ran R ) )
9	6, 8	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> Fun P )
10	7	dmeqd 4933	. . . 4 |- ( ph -> dom P = dom ran R )
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10679	. . . 4 |- ( ph -> dom ran R = ( ZZ>= ` C ) )
12	10, 11	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ph -> dom P = ( ZZ>= ` C ) )
13		df-fn 5329	. . 3 |- ( P Fn ( ZZ>= ` C ) <-> ( Fun P /\ dom P = ( ZZ>= ` C ) ) )
14	9, 12, 13	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> P Fn ( ZZ>= ` C ) )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10676	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		frn 5491	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
18	7, 17	eqsstrd 3263	. 2 |- ( ph -> P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
19		dff2 5791	. 2 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S <-> ( P Fn ( ZZ>= ` C ) /\ P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) )
20	14, 18, 19	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   <.cop 3672   omcom 4688   X. cxp 4723   dom cdm 4725   ran crn 4726   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019  freccfrec 6555   1c1 8032   + caddc 8034   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10683  frecuzrdgsuctlem  10684  seqf  10725  seqf2  10729