Theorem frecuzrdgtclt 10435

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgtclt.3	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	|- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10434	. . . 4 |- ( ph -> Fun ran R )
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 |- ( ph -> P = ran R )
8	7	funeqd 5250	. . . 4 |- ( ph -> ( Fun P <-> Fun ran R ) )
9	6, 8	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> Fun P )
10	7	dmeqd 4841	. . . 4 |- ( ph -> dom P = dom ran R )
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10432	. . . 4 |- ( ph -> dom ran R = ( ZZ>= ` C ) )
12	10, 11	eqtrd 2220	. . 3 |- ( ph -> dom P = ( ZZ>= ` C ) )
13		df-fn 5231	. . 3 |- ( P Fn ( ZZ>= ` C ) <-> ( Fun P /\ dom P = ( ZZ>= ` C ) ) )
14	9, 12, 13	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> P Fn ( ZZ>= ` C ) )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10429	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		frn 5386	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
18	7, 17	eqsstrd 3203	. 2 |- ( ph -> P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
19		dff2 5673	. 2 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S <-> ( P Fn ( ZZ>= ` C ) /\ P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) )
20	14, 18, 19	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   C_ wss 3141   <.cop 3607   omcom 4601   X. cxp 4636   dom cdm 4638   ran crn 4639   Fun wfun 5222   Fn wfn 5223   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   e. cmpo 5890  freccfrec 6405   1c1 7826   + caddc 7828   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10436  frecuzrdgsuctlem  10437  seqf  10475  seqf2  10478