Theorem frecuzrdgtclt 10225

Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frecuzrdgrclt.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
frecuzrdgrclt.a	|- ( ph -> A e. S )
frecuzrdgrclt.t	|- ( ph -> S C_ T )
frecuzrdgrclt.f	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
frecuzrdgrclt.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
frecuzrdgtclt.3	|- ( ph -> P = ran R )

Assertion

Ref	Expression
frecuzrdgtclt	|- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Distinct variable groups:   x, C, y   x, F, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y   x, R, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   P( x, y)

Proof of Theorem frecuzrdgtclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frecuzrdgrclt.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frecuzrdgrclt.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. S )
3		frecuzrdgrclt.t	. . . . 5 |- ( ph -> S C_ T )
4		frecuzrdgrclt.f	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` C ) /\ y e. S ) ) -> ( x F y ) e. S )
5		frecuzrdgrclt.r	. . . . 5 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` C ) , y e. T |-> <. ( x + 1 ) , ( x F y ) >. ) , <. C , A >. )
6	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgfun 10224	. . . 4 |- ( ph -> Fun ran R )
7		frecuzrdgtclt.3	. . . . 5 |- ( ph -> P = ran R )
8	7	funeqd 5153	. . . 4 |- ( ph -> ( Fun P <-> Fun ran R ) )
9	6, 8	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> Fun P )
10	7	dmeqd 4749	. . . 4 |- ( ph -> dom P = dom ran R )
11	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgdom 10222	. . . 4 |- ( ph -> dom ran R = ( ZZ>= ` C ) )
12	10, 11	eqtrd 2173	. . 3 |- ( ph -> dom P = ( ZZ>= ` C ) )
13		df-fn 5134	. . 3 |- ( P Fn ( ZZ>= ` C ) <-> ( Fun P /\ dom P = ( ZZ>= ` C ) ) )
14	9, 12, 13	sylanbrc 414	. 2 |- ( ph -> P Fn ( ZZ>= ` C ) )
15	1, 2, 3, 4, 5	frecuzrdgrclt 10219	. . . 4 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
16		frn 5289	. . . 4 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
17	15, 16	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ran R C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
18	7, 17	eqsstrd 3138	. 2 |- ( ph -> P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) )
19		dff2 5572	. 2 |- ( P : ( ZZ>= ` C ) --> S <-> ( P Fn ( ZZ>= ` C ) /\ P C_ ( ( ZZ>= ` C ) X. S ) ) )
20	14, 18, 19	sylanbrc 414	1 |- ( ph -> P : ( ZZ>= ` C ) --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   <.cop 3535   omcom 4512   X. cxp 4545   dom cdm 4547   ran crn 4548   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   e. cmpo 5784  freccfrec 6295   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  frecuzrdg0t  10226  frecuzrdgsuctlem  10227  seqf  10265  seqf2  10268