Theorem f1fveq 5864

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( F ` C ) = ( F ` D ) <-> C = D ) )

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 5861	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( F ` C ) = ( F ` D ) -> C = D ) )
2		fveq2 5599	. 2 |- ( C = D -> ( F ` C ) = ( F ` D ) )
3	1, 2	impbid1 142	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( F ` C ) = ( F ` D ) <-> C = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   -1-1->wf1 5287   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  f1elima  5865  cocan1  5879  f1oiso  5918  2dom  6921  xpdom2  6951  en2eqpr  7030  isotilem  7134  frec2uzled  10611  seqf1oglem1  10701  hashen  10966  eulerthlemh  12668  f1ocpbllem  13257  f1ovscpbl  13259  relogef  15451  iswomninnlem  16190