Theorem f1fveq 5565

Description: Equality of function values for a one-to-one function. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1fveq	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( F ` C ) = ( F ` D ) <-> C = D ) )

Proof of Theorem f1fveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1veqaeq 5562	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( F ` C ) = ( F ` D ) -> C = D ) )
2		fveq2 5318	. 2 |- ( C = D -> ( F ` C ) = ( F ` D ) )
3	1, 2	impbid1 141	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( C e. A /\ D e. A ) ) -> ( ( F ` C ) = ( F ` D ) <-> C = D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   -1-1->wf1 5025   ` cfv 5028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fv 5036

This theorem is referenced by:  f1elima  5566  cocan1  5580  f1oiso  5619  2dom  6576  xpdom2  6601  en2eqpr  6677  isotilem  6755  frec2uzled  9890  hashen  10246