Theorem f1oiso 5805

Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation S. Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1oiso	|- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y   x, H, y, z, w   x, R, y, z, w

Allowed substitution hints:   B( z, w)   S( x, y, z, w)

Proof of Theorem f1oiso

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of1 5441	. . 3 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A -1-1-> B )
3		df-br 3990	. . . . 5 |- ( ( H ` v ) S ( H ` u ) <-> <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S )
4		eleq2 2234	. . . . . . 7 |- ( S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S <-> <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) )
5		f1fn 5405	. . . . . . . . 9 |- ( H : A -1-1-> B -> H Fn A )
6		funfvex 5513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun H /\ v e. dom H ) -> ( H ` v ) e. _V )
7	6	funfni 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Fn A /\ v e. A ) -> ( H ` v ) e. _V )
8		funfvex 5513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun H /\ u e. dom H ) -> ( H ` u ) e. _V )
9	8	funfni 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Fn A /\ u e. A ) -> ( H ` u ) e. _V )
10	7, 9	anim12dan 595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Fn A /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( ( H ` v ) e. _V /\ ( H ` u ) e. _V ) )
11		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( H ` v ) -> ( z = ( H ` x ) <-> ( H ` v ) = ( H ` x ) ) )
12	11	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( H ` v ) -> ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) ) )
13	12	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( H ` v ) -> ( ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
14	13	2rexbidv 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( H ` v ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
15		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( H ` u ) -> ( w = ( H ` y ) <-> ( H ` u ) = ( H ` y ) ) )
16	15	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = ( H ` u ) -> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) ) )
17	16	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( H ` u ) -> ( ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
18	17	2rexbidv 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( H ` u ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
19	14, 18	opelopabg 4253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H ` v ) e. _V /\ ( H ` u ) e. _V ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Fn A /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
21	5, 20	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } <-> E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) ) )
22		anass 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) )
23		f1fveq 5751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) <-> v = x ) )
24		equcom 1699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v = x <-> x = v )
25	23, 24	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) <-> x = v ) )
26	25	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( H ` v ) = ( H ` x ) <-> x = v ) )
27	26	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
28	22, 27	syl5bb 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
29	28	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. y e. A ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
30		r19.42v 2627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. A ( x = v /\ ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) )
31	29, 30	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ x e. A ) -> ( E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
32	31	rexbidva 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. x e. A ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) ) )
33		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = v -> ( x R y <-> v R y ) )
34	33	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> ( ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) <-> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
35	34	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
36	35	ceqsrexv 2860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. A -> ( E. x e. A ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) -> ( E. x e. A ( x = v /\ E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ x R y ) ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
38	32, 37	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) ) )
39		f1fveq 5751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) <-> u = y ) )
40		equcom 1699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = y <-> y = u )
41	39, 40	bitrdi 195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( u e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) <-> y = u ) )
42	41	anassrs 398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( H ` u ) = ( H ` y ) <-> y = u ) )
43	42	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) <-> ( y = u /\ v R y ) ) )
44	43	rexbidva 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) -> ( E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) <-> E. y e. A ( y = u /\ v R y ) ) )
45		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = u -> ( v R y <-> v R u ) )
46	45	ceqsrexv 2860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. A -> ( E. y e. A ( y = u /\ v R y ) <-> v R u ) )
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) -> ( E. y e. A ( y = u /\ v R y ) <-> v R u ) )
48	44, 47	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) -> ( E. y e. A ( ( H ` u ) = ( H ` y ) /\ v R y ) <-> v R u ) )
49	38, 48	sylan9bb 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ v e. A ) /\ ( H : A -1-1-> B /\ u e. A ) ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> v R u ) )
50	49	anandis 587	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( ( ( H ` v ) = ( H ` x ) /\ ( H ` u ) = ( H ` y ) ) /\ x R y ) <-> v R u ) )
51	21, 50	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } <-> v R u ) )
52	4, 51	sylan9bbr 460	. . . . . 6 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S <-> v R u ) )
53	52	an32s 563	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( <. ( H ` v ) , ( H ` u ) >. e. S <-> v R u ) )
54	3, 53	bitr2id 192	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) /\ ( v e. A /\ u e. A ) ) -> ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) )
55	54	ralrimivva 2552	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> A. v e. A A. u e. A ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) )
56	2, 55	sylan 281	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> A. v e. A A. u e. A ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) )
57		df-isom 5207	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. v e. A A. u e. A ( v R u <-> ( H ` v ) S ( H ` u ) ) ) )
58	1, 56, 57	sylanbrc 415	1 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ S = { <. z , w >. | E. x e. A E. y e. A ( ( z = ( H ` x ) /\ w = ( H ` y ) ) /\ x R y ) } ) -> H Isom R , S ( A , B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049   Fn wfn 5193   -1-1->wf1 5195   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5806