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Theorem f1oiso 5720
Description: Any one-to-one onto function determines an isomorphism with an induced relation  S. Proposition 6.33 of [TakeutiZaring] p. 34. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1oiso  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Distinct variable groups:    x, y, z, w, A    x, B, y    x, H, y, z, w    x, R, y, z, w
Allowed substitution hints:    B( z, w)    S( x, y, z, w)

Proof of Theorem f1oiso
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
2 f1of1 5359 . . 3  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A -1-1-> B )
3 df-br 3925 . . . . 5  |-  ( ( H `  v ) S ( H `  u )  <->  <. ( H `
 v ) ,  ( H `  u
) >.  e.  S )
4 eleq2 2201 . . . . . . 7  |-  ( S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) }  ->  (
<. ( H `  v
) ,  ( H `
 u ) >.  e.  S  <->  <. ( H `  v ) ,  ( H `  u )
>.  e.  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } ) )
5 f1fn 5325 . . . . . . . . 9  |-  ( H : A -1-1-> B  ->  H  Fn  A )
6 funfvex 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  H  /\  v  e.  dom  H )  -> 
( H `  v
)  e.  _V )
76funfni 5218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  A  /\  v  e.  A )  ->  ( H `  v
)  e.  _V )
8 funfvex 5431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  H  /\  u  e.  dom  H )  -> 
( H `  u
)  e.  _V )
98funfni 5218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Fn  A  /\  u  e.  A )  ->  ( H `  u
)  e.  _V )
107, 9anim12dan 589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Fn  A  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  (
( H `  v
)  e.  _V  /\  ( H `  u )  e.  _V ) )
11 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( H `  v )  ->  (
z  =  ( H `
 x )  <->  ( H `  v )  =  ( H `  x ) ) )
1211anbi1d 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( H `  v )  ->  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  <->  ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) ) ) )
1312anbi1d 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  v )  ->  (
( ( z  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  ( (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
14132rexbidv 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  v )  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
15 eqeq1 2144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( H `  u )  ->  (
w  =  ( H `
 y )  <->  ( H `  u )  =  ( H `  y ) ) )
1615anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( H `  u )  ->  (
( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  <->  ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) ) ) )
1716anbi1d 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( H `  u )  ->  (
( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  ( (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
18172rexbidv 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( H `  u )  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
1914, 18opelopabg 4185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( H `  v
)  e.  _V  /\  ( H `  u )  e.  _V )  -> 
( <. ( H `  v ) ,  ( H `  u )
>.  e.  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) }  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  A  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  ( <. ( H `  v
) ,  ( H `
 u ) >.  e.  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) }  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
215, 20sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  ( <. ( H `  v
) ,  ( H `
 u ) >.  e.  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) }  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) ) )
22 anass 398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  ( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  x R y ) ) )
23 f1fveq 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( v  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  <->  v  =  x ) )
24 equcom 1682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  x  <->  x  =  v )
2523, 24syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( v  e.  A  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  <->  x  =  v ) )
2625anassrs 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( H `  v
)  =  ( H `
 x )  <->  x  =  v ) )
2726anbi1d 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  ( ( H `
 u )  =  ( H `  y
)  /\  x R
y ) )  <->  ( x  =  v  /\  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  x R y ) ) ) )
2822, 27syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  ( x  =  v  /\  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  x R y ) ) ) )
2928rexbidv 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  ( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  E. y  e.  A  ( x  =  v  /\  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  x R y ) ) ) )
30 r19.42v 2586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  A  ( x  =  v  /\  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y ) )  <->  ( x  =  v  /\  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y ) ) )
3129, 30syl6bb 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  A  ( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  ( x  =  v  /\  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y ) ) ) )
3231rexbidva 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  E. x  e.  A  ( x  =  v  /\  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y ) ) ) )
33 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  v  ->  (
x R y  <->  v R
y ) )
3433anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  v  ->  (
( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y )  <->  ( ( H `
 u )  =  ( H `  y
)  /\  v R
y ) ) )
3534rexbidv 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  v  ->  ( E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y )  <->  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  v R y ) ) )
3635ceqsrexv 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  A  ->  ( E. x  e.  A  ( x  =  v  /\  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  x R y ) )  <->  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  v R y ) ) )
3736adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  ->  ( E. x  e.  A  (
x  =  v  /\  E. y  e.  A  ( ( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  x R y ) )  <->  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  v R y ) ) )
3832, 37bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  E. y  e.  A  ( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  v R y ) ) )
39 f1fveq 5666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( u  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  <->  u  =  y ) )
40 equcom 1682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  y  <->  y  =  u )
4139, 40syl6bb 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( u  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  <->  y  =  u ) )
4241anassrs 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  u  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  <->  y  =  u ) )
4342anbi1d 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  u  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( ( H `  u )  =  ( H `  y )  /\  v R y )  <->  ( y  =  u  /\  v R y ) ) )
4443rexbidva 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  u  e.  A
)  ->  ( E. y  e.  A  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  v R y )  <->  E. y  e.  A  ( y  =  u  /\  v R y ) ) )
45 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  u  ->  (
v R y  <->  v R u ) )
4645ceqsrexv 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  A  ->  ( E. y  e.  A  ( y  =  u  /\  v R y )  <->  v R u ) )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  u  e.  A
)  ->  ( E. y  e.  A  (
y  =  u  /\  v R y )  <->  v R u ) )
4844, 47bitrd 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  u  e.  A
)  ->  ( E. y  e.  A  (
( H `  u
)  =  ( H `
 y )  /\  v R y )  <->  v R u ) )
4938, 48sylan9bb 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  v  e.  A
)  /\  ( H : A -1-1-> B  /\  u  e.  A ) )  -> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( ( H `  v )  =  ( H `  x )  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  v R u ) )
5049anandis 581 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( ( H `
 v )  =  ( H `  x
)  /\  ( H `  u )  =  ( H `  y ) )  /\  x R y )  <->  v R u ) )
5121, 50bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A
) )  ->  ( <. ( H `  v
) ,  ( H `
 u ) >.  e.  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) }  <-> 
v R u ) )
524, 51sylan9bbr 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A ) )  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  ->  ( <. ( H `  v ) ,  ( H `  u ) >.  e.  S  <->  v R u ) )
5352an32s 557 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( <. ( H `  v ) ,  ( H `  u )
>.  e.  S  <->  v R u ) )
543, 53syl5rbb 192 . . . 4  |-  ( ( ( H : A -1-1-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  A ) )  -> 
( v R u  <-> 
( H `  v
) S ( H `
 u ) ) )
5554ralrimivva 2512 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  ( ( z  =  ( H `  x
)  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  ->  A. v  e.  A  A. u  e.  A  ( v R u  <-> 
( H `  v
) S ( H `
 u ) ) )
562, 55sylan 281 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  ->  A. v  e.  A  A. u  e.  A  ( v R u  <-> 
( H `  v
) S ( H `
 u ) ) )
57 df-isom 5127 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. v  e.  A  A. u  e.  A  ( v R u  <-> 
( H `  v
) S ( H `
 u ) ) ) )
581, 56, 57sylanbrc 413 1  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  S  =  { <. z ,  w >.  |  E. x  e.  A  E. y  e.  A  (
( z  =  ( H `  x )  /\  w  =  ( H `  y ) )  /\  x R y ) } )  ->  H  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   _Vcvv 2681   <.cop 3525   class class class wbr 3924   {copab 3983    Fn wfn 5113   -1-1->wf1 5115   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118    Isom wiso 5119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127
This theorem is referenced by:  f1oiso2  5721
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