Theorem f1elima 5842

Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
f1elima	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Proof of Theorem f1elima

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 5483	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
2		fvelimab 5635	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
4	3	3adant2 1019	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
5		ssel 3187	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ A -> ( z e. Y -> z e. A ) )
6	5	impac 381	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ A /\ z e. Y ) -> ( z e. A /\ z e. Y ) )
7		f1fveq 5841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( z e. A /\ X e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
8	7	ancom2s 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
9	8	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
10	9	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
11		eleq1 2268	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X -> ( z e. Y <-> X e. Y ) )
12	11	biimpcd 159	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Y -> ( z = X -> X e. Y ) )
13	10, 12	sylan9 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
14	13	anasss 399	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( z e. A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
15	6, 14	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( Y C_ A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
16	15	anassrs 400	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
17	16	rexlimdva 2623	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
18	17	3impa 1197	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
19		eqid 2205	. . . 4 |- ( F ` X ) = ( F ` X )
20		fveq2 5576	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( F ` z ) = ( F ` X ) )
21	20	eqeq1d 2214	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> ( F ` X ) = ( F ` X ) ) )
22	21	rspcev 2877	. . . 4 |- ( ( X e. Y /\ ( F ` X ) = ( F ` X ) ) -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
23	19, 22	mpan2 425	. . 3 |- ( X e. Y -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
24	18, 23	impbid1 142	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> X e. Y ) )
25	4, 24	bitrd 188	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   C_ wss 3166   "cima 4678   Fn wfn 5266   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  f1imass  5843  iseqf1olemnab  10646  fprodssdc  11901  ctinfom  12799  ssnnctlemct  12817