Theorem f1elima 5628

Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
f1elima	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Proof of Theorem f1elima

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 5288	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
2		fvelimab 5431	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
3	1, 2	sylan 279	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
4	3	3adant2 983	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
5		ssel 3057	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ A -> ( z e. Y -> z e. A ) )
6	5	impac 376	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ A /\ z e. Y ) -> ( z e. A /\ z e. Y ) )
7		f1fveq 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( z e. A /\ X e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
8	7	ancom2s 538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
9	8	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
10	9	anassrs 395	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
11		eleq1 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X -> ( z e. Y <-> X e. Y ) )
12	11	biimpcd 158	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Y -> ( z = X -> X e. Y ) )
13	10, 12	sylan9 404	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
14	13	anasss 394	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( z e. A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
15	6, 14	sylan2 282	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( Y C_ A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
16	15	anassrs 395	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
17	16	rexlimdva 2523	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
18	17	3impa 1159	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
19		eqid 2115	. . . 4 |- ( F ` X ) = ( F ` X )
20		fveq2 5375	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( F ` z ) = ( F ` X ) )
21	20	eqeq1d 2123	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> ( F ` X ) = ( F ` X ) ) )
22	21	rspcev 2760	. . . 4 |- ( ( X e. Y /\ ( F ` X ) = ( F ` X ) ) -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
23	19, 22	mpan2 419	. . 3 |- ( X e. Y -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
24	18, 23	impbid1 141	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> X e. Y ) )
25	4, 24	bitrd 187	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   E.wrex 2391   C_ wss 3037   "cima 4502   Fn wfn 5076   -1-1->wf1 5078   ` cfv 5081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fv 5089

This theorem is referenced by:  f1imass  5629  iseqf1olemnab  10154  ctinfom  11786