Theorem f1elima 5752

Description: Membership in the image of a 1-1 map. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
f1elima	|- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Proof of Theorem f1elima

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1fn 5405	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> F Fn A )
2		fvelimab 5552	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
3	1, 2	sylan 281	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
4	3	3adant2 1011	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) ) )
5		ssel 3141	. . . . . . . 8 |- ( Y C_ A -> ( z e. Y -> z e. A ) )
6	5	impac 379	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ A /\ z e. Y ) -> ( z e. A /\ z e. Y ) )
7		f1fveq 5751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( z e. A /\ X e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
8	7	ancom2s 561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> z = X ) )
9	8	biimpd 143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( X e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
10	9	anassrs 398	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> z = X ) )
11		eleq1 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( z = X -> ( z e. Y <-> X e. Y ) )
12	11	biimpcd 158	. . . . . . . . 9 |- ( z e. Y -> ( z = X -> X e. Y ) )
13	10, 12	sylan9 407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ z e. A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
14	13	anasss 397	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( z e. A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
15	6, 14	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ ( Y C_ A /\ z e. Y ) ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
16	15	anassrs 398	. . . . 5 |- ( ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) /\ z e. Y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
17	16	rexlimdva 2587	. . . 4 |- ( ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A ) /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
18	17	3impa 1189	. . 3 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) -> X e. Y ) )
19		eqid 2170	. . . 4 |- ( F ` X ) = ( F ` X )
20		fveq2 5496	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( F ` z ) = ( F ` X ) )
21	20	eqeq1d 2179	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> ( F ` X ) = ( F ` X ) ) )
22	21	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( X e. Y /\ ( F ` X ) = ( F ` X ) ) -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
23	19, 22	mpan2 423	. . 3 |- ( X e. Y -> E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) )
24	18, 23	impbid1 141	. 2 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( E. z e. Y ( F ` z ) = ( F ` X ) <-> X e. Y ) )
25	4, 24	bitrd 187	1 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ X e. A /\ Y C_ A ) -> ( ( F ` X ) e. ( F " Y ) <-> X e. Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   C_ wss 3121   "cima 4614   Fn wfn 5193   -1-1->wf1 5195   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  f1imass  5753  iseqf1olemnab  10444  fprodssdc  11553  ctinfom  12383  ssnnctlemct  12401