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Theorem f1mpt 5550
Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
f1mpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
f1mpt.2  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
f1mpt  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    y, C    x, D    y, F
Allowed substitution hints:    C( x)    D( y)    F( x)

Proof of Theorem f1mpt
StepHypRef Expression
1 f1mpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
2 nfmpt1 3931 . . . 4  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
31, 2nfcxfr 2225 . . 3  |-  F/_ x F
4 nfcv 2228 . . 3  |-  F/_ y F
53, 4dff13f 5549 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
61fmpt 5449 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
76anbi1i 446 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( F : A
--> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
8 f1mpt.2 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  C  =  D )
98eleq1d 2156 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( C  e.  B  <->  D  e.  B ) )
109cbvralv 2590 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  A. y  e.  A  D  e.  B )
11 raaanv 3389 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B ) )
121fvmpt2 5386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B )  ->  ( F `  x
)  =  C )
138, 1fvmptg 5380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  y
)  =  D )
1412, 13eqeqan12d 2103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  C  e.  B
)  /\  ( y  e.  A  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1514an4s 555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
C  =  D ) )
1615imbi1d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
1716ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) ) )
1817ralimdva 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  A. y  e.  A  ( (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
19 ralbi 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2018, 19syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y )
) ) )
2120ralimia 2436 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
22 ralbi 2501 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2321, 22syl 14 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2411, 23sylbir 133 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. y  e.  A  D  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2510, 24sylan2b 281 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  C  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2625anidms 389 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
2726pm5.32i 442 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
285, 7, 273bitr2i 206 1  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( C  =  D  ->  x  =  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    |-> cmpt 3899   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012   ` cfv 5015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fv 5023
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