Theorem f1mpt 5680

Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1mpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1mpt.2	|- ( x = y -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
f1mpt	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   y, F

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x)

Proof of Theorem f1mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1mpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2		nfmpt1 4029	. . . 4 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
3	1, 2	nfcxfr 2279	. . 3 |- F/_ x F
4		nfcv 2282	. . 3 |- F/_ y F
5	3, 4	dff13f 5679	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
6	1	fmpt 5578	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
7	6	anbi1i 454	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
8		f1mpt.2	. . . . . . 7 |- ( x = y -> C = D )
9	8	eleq1d 2209	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( C e. B <-> D e. B ) )
10	9	cbvralv 2657	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B <-> A. y e. A D e. B )
11		raaanv 3475	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) )
12	1	fvmpt2 5512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( F ` x ) = C )
13	8, 1	fvmptg 5505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ D e. B ) -> ( F ` y ) = D )
14	12, 13	eqeqan12d 2156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ C e. B ) /\ ( y e. A /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) )
15	14	an4s 578	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) )
16	15	imbi1d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) )
17	16	ex 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) )
18	17	ralimdva 2502	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) )
19		ralbi 2567	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
20	18, 19	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) )
21	20	ralimia 2496	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
22		ralbi 2567	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
24	11, 23	sylbir 134	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
25	10, 24	sylan2b 285	. . . 4 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A C e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
26	25	anidms 395	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
27	26	pm5.32i 450	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
28	5, 7, 27	3bitr2i 207	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   |-> cmpt 3997   -->wf 5127   -1-1->wf1 5128   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  1domsn  6721  difinfsnlem  6992