Theorem f1mpt 5967

Description: Express injection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1mpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1mpt.2	|- ( x = y -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
f1mpt	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   y, F

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x)

Proof of Theorem f1mpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1mpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2		nfmpt1 4219	. . . 4 |- F/_ x ( x e. A |-> C )
3	1, 2	nfcxfr 2389	. . 3 |- F/_ x F
4		nfcv 2392	. . 3 |- F/_ y F
5	3, 4	dff13f 5966	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
6	1	fmpt 5849	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
7	6	anbi1i 462	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
8		f1mpt.2	. . . . . . 7 |- ( x = y -> C = D )
9	8	eleq1d 2307	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( C e. B <-> D e. B ) )
10	9	cbvralv 2786	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B <-> A. y e. A D e. B )
11		raaanv 3631	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) )
12	1	fvmpt2 5783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ C e. B ) -> ( F ` x ) = C )
13	8, 1	fvmptg 5775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ D e. B ) -> ( F ` y ) = D )
14	12, 13	eqeqan12d 2254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A /\ C e. B ) /\ ( y e. A /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) )
15	14	an4s 596	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> C = D ) )
16	15	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( C e. B /\ D e. B ) ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) )
17	16	ex 115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( C e. B /\ D e. B ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) )
18	17	ralimdva 2617	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) ) )
19		ralbi 2683	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
20	18, 19	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) ) )
21	20	ralimia 2611	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
22		ralbi 2683	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
23	21, 22	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. A ( C e. B /\ D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
24	11, 23	sylbir 135	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. y e. A D e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
25	10, 24	sylan2b 287	. . . 4 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A C e. B ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
26	25	anidms 401	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
27	26	pm5.32i 458	. 2 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )
28	5, 7, 27	3bitr2i 208	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( A. x e. A C e. B /\ A. x e. A A. y e. A ( C = D -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4187   -->wf 5368   -1-1->wf1 5369   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  1domsn  7105  difinfsnlem  7429  4sqlemffi  13153  uspgredg2v  16376  usgredg2v  16379