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Theorem iswomninnlem 16762
Description: Lemma for iswomnimap 7408. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7408 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
2 fveq1 5647 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
32eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
43ralbidv 2533 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
54dcbid 846 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
6 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
87012of 16693 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
9 elmapi 6882 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
10 fco2 5509 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
118, 9, 10sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
1211adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
13 2onn 6732 . . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
1614, 15elmapd 6874 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
1712, 16mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
1817adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
195, 6, 18rspcdva 2916 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
20 nfv 1577 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
21 nfcv 2375 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
22 nfra1 2564 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2322nfdc 1707 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2421, 23nfralxy 2571 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2520, 24nfan 1614 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
26 nfv 1577 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
2725, 26nfan 1614 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
289ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
29 fvco3 5726 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3028, 29sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3130eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
32 df-1o 6625 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5651 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4698 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 7, 36frec2uzsucd 10707 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1407 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 7frec2uz0d 10705 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1407 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 6038 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 9300 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2252 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2256 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4544eqeq2i 2242 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
467frechashgf1o 10734 . . . . . . . . . . . . 13 |- G : om -1-1-onto-> NN0
47 f1ocnv 5605 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
48 f1of 5592 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 --> om
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> `' G : NN0 --> om )
51 0nn0 9460 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
52 1nn0 9461 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
53 prssi 3836 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5628, 55ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
5754, 56sselid 3226 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
5850, 57ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om )
59 1onn 6731 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
60 f1of1 5591 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om -1-1-> NN0 )
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-> NN0
62 f1fveq 5923 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-> NN0 /\ ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6361, 62mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6459, 63mpan2 425 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6645, 65bitr3id 194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
67 f1ocnvfv2 5929 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6846, 57, 67sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6968eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7031, 66, 693bitr2d 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7127, 70ralbida 2527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7271dcbid 846 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7319, 72mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
7473ralrimiva 2606 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
75 fveq1 5647 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
7675eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7776ralbidv 2533 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7877dcbid 846 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
79 simplr 529 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
8072o01f 16694 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
81 elmapi 6882 . . . . . . . . 9 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8281adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
83 fco2 5509 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
8480, 82, 83sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
85 prexg 4307 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
8651, 52, 85mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
88 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
8987, 88elmapd 6874 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
9084, 89mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
9178, 79, 90rspcdva 2916 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 )
92 nfcv 2375 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
93 nfra1 2564 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
9493nfdc 1707 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9592, 94nfralxy 2571 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9620, 95nfan 1614 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
97 nfv 1577 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
9896, 97nfan 1614 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
9981ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
100 fvco3 5726 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10199, 100sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
102101eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
103 f1of 5592 . . . . . . . . . . 11 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> G : om --> NN0 )
105 omelon 4713 . . . . . . . . . . . . . 14 |- om e. On
106105onelssi 4532 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
10899, 107fssd 5502 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
109 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
110108, 109ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
111104, 110ffvelcdmd 5791 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 )
112 f1ocnvfv 5930 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
11346, 59, 112mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
115114eqeq2i 2242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
116 f1of1 5591 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 -1-1-> om )
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 -1-1-> om
118 f1fveq 5923 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G : NN0 -1-1-> om /\ ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
119117, 118mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
12052, 119mpan2 425 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
121115, 120bitr3id 194 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
123 f1ocnvfv1 5928 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
12446, 110, 123sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
125124eqeq1d 2240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
126102, 122, 1253bitr2d 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( g ` x ) = 1o ) )
12798, 126ralbida 2527 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
128127dcbid 846 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
12991, 128mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
130129ralrimiva 2606 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
13174, 130impbida 600 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
1321, 131bitrd 188 1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   A.wral 2511   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {cpr 3674   |-> cmpt 4155   suc csuc 4468   omcom 4694   `'ccnv 4730   |` cres 4733   o. ccom 4735   -->wf 5329   -1-1->wf1 5330   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028  freccfrec 6599   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ^m cmap 6860  WOmnicwomni 7405   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   NN0cn0 9445   ZZcz 9522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-map 6862  df-womni 7406  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799
This theorem is referenced by:  iswomninn  16763
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