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Theorem iswomninnlem 16531
Description: Lemma for iswomnimap 7349. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7349 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
2 fveq1 5631 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
32eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
43ralbidv 2530 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
54dcbid 843 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
6 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
87012of 16470 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
9 elmapi 6830 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
10 fco2 5495 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
118, 9, 10sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
1211adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
13 2onn 6680 . . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
1614, 15elmapd 6822 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
1712, 16mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
1817adantlr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
195, 6, 18rspcdva 2912 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
20 nfv 1574 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
21 nfcv 2372 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
22 nfra1 2561 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2322nfdc 1705 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2421, 23nfralxy 2568 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2520, 24nfan 1611 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
26 nfv 1574 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
2725, 26nfan 1611 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
289ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
29 fvco3 5710 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3028, 29sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3130eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
32 df-1o 6573 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5635 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 7, 36frec2uzsucd 10640 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1404 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 7frec2uz0d 10638 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1404 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 6020 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 9240 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2254 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4544eqeq2i 2240 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
467frechashgf1o 10667 . . . . . . . . . . . . 13 |- G : om -1-1-onto-> NN0
47 f1ocnv 5590 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
48 f1of 5577 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 --> om
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> `' G : NN0 --> om )
51 0nn0 9400 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
52 1nn0 9401 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
53 prssi 3826 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5628, 55ffvelcdmd 5776 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
5754, 56sselid 3222 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
5850, 57ffvelcdmd 5776 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om )
59 1onn 6679 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
60 f1of1 5576 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om -1-1-> NN0 )
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-> NN0
62 f1fveq 5905 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-> NN0 /\ ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6361, 62mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6459, 63mpan2 425 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6645, 65bitr3id 194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
67 f1ocnvfv2 5911 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6846, 57, 67sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6968eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7031, 66, 693bitr2d 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7127, 70ralbida 2524 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7271dcbid 843 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7319, 72mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
7473ralrimiva 2603 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
75 fveq1 5631 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
7675eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7776ralbidv 2530 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7877dcbid 843 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
79 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
8072o01f 16471 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
81 elmapi 6830 . . . . . . . . 9 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8281adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
83 fco2 5495 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
8480, 82, 83sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
85 prexg 4296 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
8651, 52, 85mp2an 426 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
88 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
8987, 88elmapd 6822 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
9084, 89mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
9178, 79, 90rspcdva 2912 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 )
92 nfcv 2372 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
93 nfra1 2561 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
9493nfdc 1705 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9592, 94nfralxy 2568 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9620, 95nfan 1611 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
97 nfv 1574 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
9896, 97nfan 1611 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
9981ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
100 fvco3 5710 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10199, 100sylancom 420 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
102101eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
103 f1of 5577 . . . . . . . . . . 11 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> G : om --> NN0 )
105 omelon 4702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- om e. On
106105onelssi 4521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
10899, 107fssd 5489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
109 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
110108, 109ffvelcdmd 5776 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
111104, 110ffvelcdmd 5776 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 )
112 f1ocnvfv 5912 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
11346, 59, 112mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
115114eqeq2i 2240 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
116 f1of1 5576 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 -1-1-> om )
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 -1-1-> om
118 f1fveq 5905 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G : NN0 -1-1-> om /\ ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
119117, 118mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
12052, 119mpan2 425 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
121115, 120bitr3id 194 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
123 f1ocnvfv1 5910 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
12446, 110, 123sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
125124eqeq1d 2238 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
126102, 122, 1253bitr2d 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( g ` x ) = 1o ) )
12798, 126ralbida 2524 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
128127dcbid 843 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
12991, 128mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
130129ralrimiva 2603 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
13174, 130impbida 598 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
1321, 131bitrd 188 1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {cpr 3667   |-> cmpt 4145   suc csuc 4457   omcom 4683   `'ccnv 4719   |` cres 4722   o. ccom 4724   -->wf 5317   -1-1->wf1 5318   -1-1-onto->wf1o 5320   ` cfv 5321  (class class class)co 6010  freccfrec 6547   1oc1o 6566   2oc2o 6567   ^m cmap 6808  WOmnicwomni 7346   0cc0 8015   1c1 8016   + caddc 8018   NN0cn0 9385   ZZcz 9462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-map 6810  df-womni 7347  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739
This theorem is referenced by:  iswomninn  16532
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