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Theorem iswomninnlem 17073
Description: Lemma for iswomnimap 7500. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7500 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
2 fveq1 5692 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
32eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
43ralbidv 2550 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
54dcbid 850 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
6 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
87012of 17006 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
9 elmapi 6938 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
10 fco2 5552 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
118, 9, 10sylancr 418 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
1211adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
13 2onn 6788 . . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
15 simpl 109 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
1614, 15elmapd 6930 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
1712, 16mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
1817adantlr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
195, 6, 18rspcdva 2934 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
20 nfv 1581 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
21 nfcv 2392 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
22 nfra1 2581 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2322nfdc 1711 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2421, 23nfralxy 2588 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2520, 24nfan 1618 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
26 nfv 1581 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
2725, 26nfan 1618 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
289ad2antlr 493 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
29 fvco3 5773 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3028, 29sylancom 424 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3130eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
32 df-1o 6681 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5696 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9639 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4739 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 7, 36frec2uzsucd 10821 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1411 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 7frec2uz0d 10819 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 6089 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 9401 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2259 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2263 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4544eqeq2i 2249 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
467frechashgf1o 10848 . . . . . . . . . . . . 13 |- G : om -1-1-onto-> NN0
47 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
48 f1of 5637 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 --> om
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> `' G : NN0 --> om )
51 0nn0 9561 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
52 1nn0 9562 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
53 prssi 3871 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
5451, 52, 53mp2an 430 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
55 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5628, 55ffvelcdmd 5838 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
5754, 56sselid 3246 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
5850, 57ffvelcdmd 5838 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om )
59 1onn 6787 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
60 f1of1 5636 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om -1-1-> NN0 )
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-> NN0
62 f1fveq 5972 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-> NN0 /\ ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6361, 62mpan 428 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6459, 63mpan2 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6645, 65bitr3id 194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
67 f1ocnvfv2 5978 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6846, 57, 67sylancr 418 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6968eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7031, 66, 693bitr2d 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7127, 70ralbida 2544 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7271dcbid 850 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7319, 72mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
7473ralrimiva 2623 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
75 fveq1 5692 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
7675eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7776ralbidv 2550 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7877dcbid 850 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
79 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
8072o01f 17007 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
81 elmapi 6938 . . . . . . . . 9 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8281adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
83 fco2 5552 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
8480, 82, 83sylancr 418 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
85 prexg 4347 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
8651, 52, 85mp2an 430 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
88 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
8987, 88elmapd 6930 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
9084, 89mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
9178, 79, 90rspcdva 2934 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 )
92 nfcv 2392 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
93 nfra1 2581 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
9493nfdc 1711 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9592, 94nfralxy 2588 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9620, 95nfan 1618 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
97 nfv 1581 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
9896, 97nfan 1618 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
9981ad2antlr 493 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
100 fvco3 5773 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10199, 100sylancom 424 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
102101eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
103 f1of 5637 . . . . . . . . . . 11 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> G : om --> NN0 )
105 omelon 4754 . . . . . . . . . . . . . 14 |- om e. On
106105onelssi 4572 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
10899, 107fssd 5545 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
109 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
110108, 109ffvelcdmd 5838 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
111104, 110ffvelcdmd 5838 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 )
112 f1ocnvfv 5979 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
11346, 59, 112mp2an 430 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
115114eqeq2i 2249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
116 f1of1 5636 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 -1-1-> om )
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 -1-1-> om
118 f1fveq 5972 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G : NN0 -1-1-> om /\ ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
119117, 118mpan 428 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
12052, 119mpan2 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
121115, 120bitr3id 194 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
123 f1ocnvfv1 5977 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
12446, 110, 123sylancr 418 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
125124eqeq1d 2247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
126102, 122, 1253bitr2d 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( g ` x ) = 1o ) )
12798, 126ralbida 2544 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
128127dcbid 850 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
12991, 128mpbid 147 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
130129ralrimiva 2623 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
13174, 130impbida 604 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
1321, 131bitrd 188 1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {cpr 3709   |-> cmpt 4190   suc csuc 4508   omcom 4735   `'ccnv 4771   |` cres 4774   o. ccom 4776   -->wf 5371   -1-1->wf1 5372   -1-1-onto->wf1o 5374   ` cfv 5375  (class class class)co 6079  freccfrec 6655   1oc1o 6674   2oc2o 6675   ^m cmap 6916  WOmnicwomni 7497   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   NN0cn0 9546   ZZcz 9627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-map 6918  df-womni 7498  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905
This theorem is referenced by:  iswomninn  17074
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