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Theorem iswomninnlem 13928
Description: Lemma for iswomnimap 7130. The result, with a hypothesis for convenience. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jun-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
iswomninnlem.g |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
Assertion
Ref Expression
iswomninnlem |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Distinct variable groups:   A, f, x   f, G, x   f, V, x
Proof of Theorem iswomninnlem
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswomnimap 7130 . 2 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
2 fveq1 5485 . . . . . . . . 9 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( g ` x ) = ( ( `' G o. f ) ` x ) )
32eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( ( g ` x ) = 1o <-> ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
43ralbidv 2466 . . . . . . 7 |- ( g = ( `' G o. f ) -> ( A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
54dcbid 828 . . . . . 6 |- ( g = ( `' G o. f ) -> (DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o ) )
6 simplr 520 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
7 iswomninnlem.g . . . . . . . . . . 11 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
87012of 13875 . . . . . . . . . 10 |- ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o
9 elmapi 6636 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
10 fco2 5354 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' G |` { 0 , 1 } ) : { 0 , 1 } --> 2o /\ f : A --> { 0 , 1 } ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
118, 9, 10sylancr 411 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
1211adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) : A --> 2o )
13 2onn 6489 . . . . . . . . . 10 |- 2o e. om
1413a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> 2o e. om )
15 simpl 108 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> A e. V )
1614, 15elmapd 6628 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) <-> ( `' G o. f ) : A --> 2o ) )
1712, 16mpbird 166 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
1817adantlr 469 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( `' G o. f ) e. ( 2o ^m A ) )
195, 6, 18rspcdva 2835 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o )
20 nfv 1516 . . . . . . . . 9 |- F/ x A e. V
21 nfcv 2308 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( 2o ^m A )
22 nfra1 2497 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2322nfdc 1647 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2421, 23nfralxy 2504 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o
2520, 24nfan 1553 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
26 nfv 1516 . . . . . . . 8 |- F/ x f e. ( { 0 , 1 } ^m A )
2725, 26nfan 1553 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
289ad2antlr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : A --> { 0 , 1 } )
29 fvco3 5557 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { 0 , 1 } /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3028, 29sylancom 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G o. f ) ` x ) = ( `' G ` ( f ` x ) ) )
3130eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
32 df-1o 6384 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o = suc (/)
3332fveq2i 5489 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` 1o ) = ( G ` suc (/) )
34 0zd 9203 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> 0 e. ZZ )
35 peano1 4571 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. om
3635a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) e. om )
3734, 7, 36frec2uzsucd 10336 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 ) )
3837mptru 1352 . . . . . . . . . . 11 |- ( G ` suc (/) ) = ( ( G ` (/) ) + 1 )
3934, 7frec2uz0d 10334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( G ` (/) ) = 0 )
4039mptru 1352 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G ` (/) ) = 0
4140oveq1i 5852 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = ( 0 + 1 )
42 0p1e1 8971 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
4341, 42eqtri 2186 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` (/) ) + 1 ) = 1
4433, 38, 433eqtri 2190 . . . . . . . . . 10 |- ( G ` 1o ) = 1
4544eqeq2i 2176 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 )
467frechashgf1o 10363 . . . . . . . . . . . . 13 |- G : om -1-1-onto-> NN0
47 f1ocnv 5445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> `' G : NN0 -1-1-onto-> om )
48 f1of 5432 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 --> om )
4946, 47, 48mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 --> om
5049a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> `' G : NN0 --> om )
51 0nn0 9129 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
52 1nn0 9130 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN0
53 prssi 3731 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
5451, 52, 53mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } C_ NN0
55 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
5628, 55ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. { 0 , 1 } )
5754, 56sselid 3140 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
5850, 57ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om )
59 1onn 6488 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
60 f1of1 5431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om -1-1-> NN0 )
6146, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- G : om -1-1-> NN0
62 f1fveq 5740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : om -1-1-> NN0 /\ ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6361, 62mpan 421 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6459, 63mpan2 422 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( f ` x ) ) e. om -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6558, 64syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( G ` 1o ) <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
6645, 65bitr3id 193 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( `' G ` ( f ` x ) ) = 1o ) )
67 f1ocnvfv2 5746 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( f ` x ) e. NN0 ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6846, 57, 67sylancr 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = ( f ` x ) )
6968eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G ` ( `' G ` ( f ` x ) ) ) = 1 <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7031, 66, 693bitr2d 215 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> ( f ` x ) = 1 ) )
7127, 70ralbida 2460 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7271dcbid 828 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( `' G o. f ) ` x ) = 1o <-> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
7319, 72mpbid 146 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) /\ f e. ( { 0 , 1 } ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
7473ralrimiva 2539 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
75 fveq1 5485 . . . . . . . . 9 |- ( f = ( G o. g ) -> ( f ` x ) = ( ( G o. g ) ` x ) )
7675eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( f = ( G o. g ) -> ( ( f ` x ) = 1 <-> ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7776ralbidv 2466 . . . . . . 7 |- ( f = ( G o. g ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
7877dcbid 828 . . . . . 6 |- ( f = ( G o. g ) -> (DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 ) )
79 simplr 520 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
8072o01f 13876 . . . . . . . 8 |- ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 }
81 elmapi 6636 . . . . . . . . 9 |- ( g e. ( 2o ^m A ) -> g : A --> 2o )
8281adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> g : A --> 2o )
83 fco2 5354 . . . . . . . 8 |- ( ( ( G |` 2o ) : 2o --> { 0 , 1 } /\ g : A --> 2o ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
8480, 82, 83sylancr 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } )
85 prexg 4189 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
8651, 52, 85mp2an 423 . . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
8786a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> { 0 , 1 } e. _V )
88 simpll 519 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> A e. V )
8987, 88elmapd 6628 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) <-> ( G o. g ) : A --> { 0 , 1 } ) )
9084, 89mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( G o. g ) e. ( { 0 , 1 } ^m A ) )
9178, 79, 90rspcdva 2835 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 )
92 nfcv 2308 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( { 0 , 1 } ^m A )
93 nfra1 2497 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x A. x e. A ( f ` x ) = 1
9493nfdc 1647 . . . . . . . . . 10 |- F/ xDECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9592, 94nfralxy 2504 . . . . . . . . 9 |- F/ x A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1
9620, 95nfan 1553 . . . . . . . 8 |- F/ x ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 )
97 nfv 1516 . . . . . . . 8 |- F/ x g e. ( 2o ^m A )
9896, 97nfan 1553 . . . . . . 7 |- F/ x ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) )
9981ad2antlr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> 2o )
100 fvco3 5557 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g : A --> 2o /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
10199, 100sylancom 417 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( G o. g ) ` x ) = ( G ` ( g ` x ) ) )
102101eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
103 f1of 5432 . . . . . . . . . . 11 |- ( G : om -1-1-onto-> NN0 -> G : om --> NN0 )
10446, 103mp1i 10 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> G : om --> NN0 )
105 omelon 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 |- om e. On
106105onelssi 4407 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o e. om -> 2o C_ om )
10713, 106mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> 2o C_ om )
10899, 107fssd 5350 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> g : A --> om )
109 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> x e. A )
110108, 109ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. om )
111104, 110ffvelrnd 5621 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 )
112 f1ocnvfv 5747 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ 1o e. om ) -> ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o ) )
11346, 59, 112mp2an 423 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` 1o ) = 1 -> ( `' G ` 1 ) = 1o )
11444, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' G ` 1 ) = 1o
115114eqeq2i 2176 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o )
116 f1of1 5431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' G : NN0 -1-1-onto-> om -> `' G : NN0 -1-1-> om )
11746, 47, 116mp2b 8 . . . . . . . . . . . 12 |- `' G : NN0 -1-1-> om
118 f1fveq 5740 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' G : NN0 -1-1-> om /\ ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
119117, 118mpan 421 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
12052, 119mpan2 422 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( `' G ` 1 ) <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
121115, 120bitr3id 193 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` ( g ` x ) ) e. NN0 -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
122111, 121syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( G ` ( g ` x ) ) = 1 ) )
123 f1ocnvfv1 5745 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G : om -1-1-onto-> NN0 /\ ( g ` x ) e. om ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
12446, 110, 123sylancr 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = ( g ` x ) )
125124eqeq1d 2174 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( `' G ` ( G ` ( g ` x ) ) ) = 1o <-> ( g ` x ) = 1o ) )
126102, 122, 1253bitr2d 215 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> ( g ` x ) = 1o ) )
12798, 126ralbida 2460 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
128127dcbid 828 . . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> (DECID A. x e. A ( ( G o. g ) ` x ) = 1 <-> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o ) )
12991, 128mpbid 146 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) /\ g e. ( 2o ^m A ) ) -> DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
130129ralrimiva 2539 . . 3 |- ( ( A e. V /\ A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) -> A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o )
13174, 130impbida 586 . 2 |- ( A e. V -> ( A. g e. ( 2o ^m A )DECID A. x e. A ( g ` x ) = 1o <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
1321, 131bitrd 187 1 |- ( A e. V -> ( A e. WOmni <-> A. f e. ( { 0 , 1 } ^m A )DECID A. x e. A ( f ` x ) = 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   T. wtru 1344   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {cpr 3577   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   `'ccnv 4603   |` cres 4606   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ^m cmap 6614  WOmnicwomni 7127   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   NN0cn0 9114   ZZcz 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-womni 7128  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467
This theorem is referenced by:  iswomninn  13929
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