ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1vrnfibi Unicode version

Theorem f1vrnfibi 6644
Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 6643. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1vrnfibi  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : A -1-1-> B )  ->  ( F  e. 
Fin 
<->  ran  F  e.  Fin ) )

Proof of Theorem f1vrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1dm 5215 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  dom  F  =  A )
2 dmexg 4693 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  dom  F  e.  _V )
3 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( A  =  dom  F  -> 
( A  e.  _V  <->  dom 
F  e.  _V )
)
43eqcoms 2091 . . . . 5  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( A  e.  _V  <->  dom 
F  e.  _V )
)
52, 4syl5ibr 154 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( F  e.  V  ->  A  e.  _V )
)
61, 5syl 14 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( F  e.  V  ->  A  e.  _V )
)
76impcom 123 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : A -1-1-> B )  ->  A  e.  _V )
8 f1dmvrnfibi 6643 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  F : A -1-1-> B )  ->  ( F  e. 
Fin 
<->  ran  F  e.  Fin ) )
97, 8sylancom 411 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  F : A -1-1-> B )  ->  ( F  e. 
Fin 
<->  ran  F  e.  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   dom cdm 4436   ran crn 4437   -1-1->wf1 5007   Fincfn 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-1o 6173  df-er 6282  df-en 6448  df-fin 6450
This theorem is referenced by:  negfi  10646
  Copyright terms: Public domain W3C validator