Theorem f1vrnfibi 7259

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 7258. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	|- ( ( F e. V /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F e. Fin <-> ran F e. Fin ) )

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 5603	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
2		dmexg 5046	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( A = dom F -> ( A e. _V <-> dom F e. _V ) )
4	3	eqcoms 2241	. . . . 5 |- ( dom F = A -> ( A e. _V <-> dom F e. _V ) )
5	2, 4	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( dom F = A -> ( F e. V -> A e. _V ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( F e. V -> A e. _V ) )
7	6	impcom 125	. 2 |- ( ( F e. V /\ F : A -1-1-> B ) -> A e. _V )
8		f1dmvrnfibi 7258	. 2 |- ( ( A e. _V /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F e. Fin <-> ran F e. Fin ) )
9	7, 8	sylancom 424	1 |- ( ( F e. V /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F e. Fin <-> ran F e. Fin ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   dom cdm 4774   ran crn 4775   -1-1->wf1 5374   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by:  negfi  11994