Theorem f1vrnfibi 7020

Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 7019. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
f1vrnfibi	|- ( ( F e. V /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F e. Fin <-> ran F e. Fin ) )

Proof of Theorem f1vrnfibi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1dm 5471	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> dom F = A )
2		dmexg 4931	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		eleq1 2259	. . . . . 6 |- ( A = dom F -> ( A e. _V <-> dom F e. _V ) )
4	3	eqcoms 2199	. . . . 5 |- ( dom F = A -> ( A e. _V <-> dom F e. _V ) )
5	2, 4	imbitrrid 156	. . . 4 |- ( dom F = A -> ( F e. V -> A e. _V ) )
6	1, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( F e. V -> A e. _V ) )
7	6	impcom 125	. 2 |- ( ( F e. V /\ F : A -1-1-> B ) -> A e. _V )
8		f1dmvrnfibi 7019	. 2 |- ( ( A e. _V /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F e. Fin <-> ran F e. Fin ) )
9	7, 8	sylancom 420	1 |- ( ( F e. V /\ F : A -1-1-> B ) -> ( F e. Fin <-> ran F e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   dom cdm 4664   ran crn 4665   -1-1->wf1 5256   Fincfn 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-en 6809  df-fin 6811

This theorem is referenced by:  negfi  11410