ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1vrnfibi GIF version

Theorem f1vrnfibi 6833
Description: A one-to-one function which is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1dmvrnfibi 6832. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1vrnfibi ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1vrnfibi
StepHypRef Expression
1 f1dm 5333 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2 dmexg 4803 . . . . 5 (𝐹𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
3 eleq1 2202 . . . . . 6 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
43eqcoms 2142 . . . . 5 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ dom 𝐹 ∈ V))
52, 4syl5ibr 155 . . . 4 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹𝑉𝐴 ∈ V))
61, 5syl 14 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝑉𝐴 ∈ V))
76impcom 124 . 2 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
8 f1dmvrnfibi 6832 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
97, 8sylancom 416 1 ((𝐹𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  dom cdm 4539  ran crn 4540  1-1wf1 5120  Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  negfi  11006
  Copyright terms: Public domain W3C validator