Theorem dmaddpi 7437

Description: Domain of addition on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmaddpi	|- dom +N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmaddpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4979	. . 3 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom +o )
2		fnoa 6532	. . . . 5 |- +o Fn ( On X. On )
3		fndm 5372	. . . . 5 |- ( +o Fn ( On X. On ) -> dom +o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom +o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3370	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom +o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2225	. 2 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-pli 7417	. . 3 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4878	. 2 |- dom +N = dom ( +o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7416	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3298	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3224	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4660	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3201	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 146	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4781	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3179	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 145	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2235	1 |- dom +N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1372   \ cdif 3162   i^i cin 3164   C_ wss 3165   (/)c0 3459   {csn 3632   Oncon0 4409   omcom 4637   X. cxp 4672   dom cdm 4674   |` cres 4676   Fn wfn 5265   +o coa 6498   N.cnpi 7384   +N cpli 7385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-oadd 6505  df-ni 7416  df-pli 7417

This theorem is referenced by: (None)