Theorem dmaddpi 7385

Description: Domain of addition on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmaddpi	|- dom +N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmaddpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4963	. . 3 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom +o )
2		fnoa 6500	. . . . 5 |- +o Fn ( On X. On )
3		fndm 5353	. . . . 5 |- ( +o Fn ( On X. On ) -> dom +o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom +o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3357	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom +o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2214	. 2 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-pli 7365	. . 3 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4863	. 2 |- dom +N = dom ( +o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7364	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3285	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3211	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4645	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3188	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 146	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4766	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3167	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 145	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2224	1 |- dom +N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   \ cdif 3150   i^i cin 3152   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   Oncon0 4394   omcom 4622   X. cxp 4657   dom cdm 4659   |` cres 4661   Fn wfn 5249   +o coa 6466   N.cnpi 7332   +N cpli 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-ni 7364  df-pli 7365

This theorem is referenced by: (None)