Theorem dmaddpi 7438

Description: Domain of addition on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmaddpi	|- dom +N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmaddpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4980	. . 3 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom +o )
2		fnoa 6533	. . . . 5 |- +o Fn ( On X. On )
3		fndm 5373	. . . . 5 |- ( +o Fn ( On X. On ) -> dom +o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom +o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3371	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom +o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2226	. 2 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-pli 7418	. . 3 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4879	. 2 |- dom +N = dom ( +o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7417	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3299	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3225	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4661	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3202	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 146	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4782	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3180	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 145	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2236	1 |- dom +N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   \ cdif 3163   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   Oncon0 4410   omcom 4638   X. cxp 4673   dom cdm 4675   |` cres 4677   Fn wfn 5266   +o coa 6499   N.cnpi 7385   +N cpli 7386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-ni 7417  df-pli 7418

This theorem is referenced by: (None)