Theorem dmaddpi 7473

Description: Domain of addition on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmaddpi	|- dom +N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmaddpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4999	. . 3 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom +o )
2		fnoa 6556	. . . . 5 |- +o Fn ( On X. On )
3		fndm 5392	. . . . 5 |- ( +o Fn ( On X. On ) -> dom +o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom +o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3379	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom +o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2228	. 2 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-pli 7453	. . 3 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4898	. 2 |- dom +N = dom ( +o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7452	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3307	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3233	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4679	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3210	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 146	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4800	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3188	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 145	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2238	1 |- dom +N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   \ cdif 3171   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   Oncon0 4428   omcom 4656   X. cxp 4691   dom cdm 4693   |` cres 4695   Fn wfn 5285   +o coa 6522   N.cnpi 7420   +N cpli 7421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-oadd 6529  df-ni 7452  df-pli 7453

This theorem is referenced by: (None)