Theorem dmaddpi 7588

Description: Domain of addition on positive integers. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmaddpi	|- dom +N = ( N. X. N. )

Proof of Theorem dmaddpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5040	. . 3 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i dom +o )
2		fnoa 6658	. . . . 5 |- +o Fn ( On X. On )
3		fndm 5436	. . . . 5 |- ( +o Fn ( On X. On ) -> dom +o = ( On X. On ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- dom +o = ( On X. On )
5	4	ineq2i 3407	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) i^i dom +o ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
6	1, 5	eqtri 2252	. 2 |- dom ( +o |` ( N. X. N. ) ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
7		df-pli 7568	. . 3 |- +N = ( +o |` ( N. X. N. ) )
8	7	dmeqi 4938	. 2 |- dom +N = dom ( +o |` ( N. X. N. ) )
9		df-ni 7567	. . . . . . 7 |- N. = ( om \ { (/) } )
10		difss 3335	. . . . . . 7 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
11	9, 10	eqsstri 3260	. . . . . 6 |- N. C_ om
12		omsson 4717	. . . . . 6 |- om C_ On
13	11, 12	sstri 3237	. . . . 5 |- N. C_ On
14		anidm 396	. . . . 5 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) <-> N. C_ On )
15	13, 14	mpbir 146	. . . 4 |- ( N. C_ On /\ N. C_ On )
16		xpss12 4839	. . . 4 |- ( ( N. C_ On /\ N. C_ On ) -> ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( N. X. N. ) C_ ( On X. On )
18		dfss 3215	. . 3 |- ( ( N. X. N. ) C_ ( On X. On ) <-> ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) ) )
19	17, 18	mpbi 145	. 2 |- ( N. X. N. ) = ( ( N. X. N. ) i^i ( On X. On ) )
20	6, 8, 19	3eqtr4i 2262	1 |- dom +N = ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   \ cdif 3198   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   Oncon0 4466   omcom 4694   X. cxp 4729   dom cdm 4731   |` cres 4733   Fn wfn 5328   +o coa 6622   N.cnpi 7535   +N cpli 7536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-ni 7567  df-pli 7568

This theorem is referenced by: (None)