Theorem fnoa 6505

Description: Functionality and domain of ordinal addition. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnoa	⊢ +o Fn (On × On)

Proof of Theorem fnoa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oadd 6478	. 2 ⊢ +o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦))
2		vex 2766	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2766	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4		oafnex 6502	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V
5	3, 4	rdgexg 6447	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V)
6	2, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
7	1, 6	fnmpoi 6261	1 ⊢ +o Fn (On × On)

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4094  Oncon0 4398  suc csuc 4400   × cxp 4661   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  reccrdg 6427   +_o coa 6471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478

This theorem is referenced by:  dmaddpi  7392