Theorem oaexg 6451

Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oaexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )

Proof of Theorem oaexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2742	. . . 4 |- y e. _V
2		vex 2742	. . . . 5 |- x e. _V
3		oafnex 6447	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> suc z ) Fn _V
4	2, 3	rdgexg 6392	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
6	5	gen2 1450	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
7		df-oadd 6423	. . 3 |- +o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) )
8	7	mpofvex 6206	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )
9	6, 8	mp3an1 1324	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   |-> cmpt 4066   Oncon0 4365   suc csuc 4367   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   reccrdg 6372   +o coa 6416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423

This theorem is referenced by:  omfnex  6452  oav2  6466