Theorem oaexg 6352

Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oaexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )

Proof of Theorem oaexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . 4 |- y e. _V
2		vex 2692	. . . . 5 |- x e. _V
3		oafnex 6348	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> suc z ) Fn _V
4	2, 3	rdgexg 6294	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
6	5	gen2 1427	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
7		df-oadd 6325	. . 3 |- +o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) )
8	7	mpofvex 6109	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )
9	6, 8	mp3an1 1303	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   |-> cmpt 3997   Oncon0 4293   suc csuc 4295   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   reccrdg 6274   +o coa 6318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325

This theorem is referenced by:  omfnex  6353  oav2  6367