ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oaexg Unicode version

Theorem oaexg 6344
Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oaexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +o  B
)  e.  _V )

Proof of Theorem oaexg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2689 . . . 4  |-  y  e. 
_V
2 vex 2689 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 oafnex 6340 . . . . 5  |-  ( z  e.  _V  |->  suc  z
)  Fn  _V
42, 3rdgexg 6286 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  suc  z ) ,  x ) `  y
)  e.  _V )
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  suc  z ) ,  x ) `  y
)  e.  _V
65gen2 1426 . 2  |-  A. x A. y ( rec (
( z  e.  _V  |->  suc  z ) ,  x
) `  y )  e.  _V
7 df-oadd 6317 . . 3  |-  +o  =  ( x  e.  On ,  y  e.  On  |->  ( rec ( ( z  e.  _V  |->  suc  z
) ,  x ) `
 y ) )
87mpofvex 6101 . 2  |-  ( ( A. x A. y
( rec ( ( z  e.  _V  |->  suc  z ) ,  x
) `  y )  e.  _V  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +o  B )  e. 
_V )
96, 8mp3an1 1302 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  +o  B
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103   A.wal 1329    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    |-> cmpt 3989   Oncon0 4285   suc csuc 4287   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   reccrdg 6266    +o coa 6310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317
This theorem is referenced by:  omfnex  6345  oav2  6359
  Copyright terms: Public domain W3C validator