Theorem oaexg 6721

Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oaexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )

Proof of Theorem oaexg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . 4 |- y e. _V
2		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
3		oafnex 6717	. . . . 5 |- ( z e. _V |-> suc z ) Fn _V
4	2, 3	rdgexg 6660	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
6	5	gen2 1503	. 2 |- A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V
7		df-oadd 6691	. . 3 |- +o = ( x e. On , y e. On |-> ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) )
8	7	mpofvex 6441	. 2 |- ( ( A. x A. y ( rec ( ( z e. _V |-> suc z ) , x ) ` y ) e. _V /\ A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )
9	6, 8	mp3an1 1365	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A +o B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1400   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4192   Oncon0 4508   suc csuc 4510   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   reccrdg 6640   +o coa 6684

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691

This theorem is used by:  omfnex  6722  oav2  6736