Theorem ctssdclemn0 7075

Description: Lemma for ctssdc 7078. The -. (/) e. S case. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssdclemn0.ss	|- ( ph -> S C_ om )
ctssdclemn0.dc	|- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
ctssdclemn0.f	|- ( ph -> F : S -onto-> A )
ctssdclemn0.n0	|- ( ph -> -. (/) e. S )

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemn0	|- ( ph -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   S, g   S, n

Allowed substitution hints:   ph( g, n)   A( n)   F( n)

Proof of Theorem ctssdclemn0

Dummy variables m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctssdclemn0.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : S -onto-> A )
2	1	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> F : S -onto-> A )
3		fof 5410	. . . . . . . 8 |- ( F : S -onto-> A -> F : S --> A )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> F : S --> A )
5		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> m e. S )
6	4, 5	ffvelrnd 5621	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> ( F ` m ) e. A )
7		djulcl 7016	. . . . . 6 |- ( ( F ` m ) e. A -> (inl ` ( F ` m ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> (inl ` ( F ` m ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
9		0lt1o 6408	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		djurcl 7017	. . . . . . 7 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o )
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ -. m e. S ) -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
13		eleq1 2229	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n e. S <-> m e. S ) )
14	13	dcbid 828	. . . . . 6 |- ( n = m -> (DECID n e. S <-> DECID m e. S ) )
15		ctssdclemn0.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
16	15	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. S )
17		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
18	14, 16, 17	rspcdva 2835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> DECID m e. S )
19	8, 12, 18	ifcldadc 3549	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20	19	fmpttd 5640	. . 3 |- ( ph -> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) )
21	1	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> F : S -onto-> A )
22		simplr 520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> z e. A )
23		foelrn 5721	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S -onto-> A /\ z e. A ) -> E. y e. S z = ( F ` y ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. S z = ( F ` y ) )
25		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> y e. S )
26	25	iftrued 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
27		eqid 2165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) )
28		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = y -> ( m e. S <-> y e. S ) )
29		2fveq3 5491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = y -> (inl ` ( F ` m ) ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
30	28, 29	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = y -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) = if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) )
31		ctssdclemn0.ss	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ om )
32	31	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> S C_ om )
33	32, 25	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> y e. om )
34	1, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : S --> A )
35	34	ad5antr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> F : S --> A )
36	35, 25	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> ( F ` y ) e. A )
37		djulcl 7016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) e. A -> (inl ` ( F ` y ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> (inl ` ( F ` y ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
39	26, 38	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
40	27, 30, 33, 39	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) = if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) )
41		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = (inl ` z ) )
42		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> z = ( F ` y ) )
43	42	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> (inl ` z ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = (inl ` ( F ` y ) ) )
45	26, 40, 44	3eqtr4rd 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
46	45	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) -> ( z = ( F ` y ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
47	46	reximdva 2568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> ( E. y e. S z = ( F ` y ) -> E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
48	24, 47	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
49		ssrexv 3207	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ om -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
50	31, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
51	50	ad3antrrr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
52	48, 51	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
53	52	rexlimdva2 2586	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
54		peano1 4571	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
55	54	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> (/) e. om )
56		ctssdclemn0.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. (/) e. S )
57	56	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> -. (/) e. S )
58	57	iffalsed 3530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) = (inr ` (/) ) )
59		eleq1 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (/) -> ( m e. S <-> (/) e. S ) )
60		2fveq3 5491	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (/) -> (inl ` ( F ` m ) ) = (inl ` ( F ` (/) ) ) )
61	59, 60	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . 9 |- ( m = (/) -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) = if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) )
62	58, 11	eqeltrdi 2257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
63	27, 61, 55, 62	fvmptd3 5579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) )
64		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = (inr ` z ) )
65		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> z e. 1o )
66		el1o 6405	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. 1o <-> z = (/) )
67	65, 66	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> z = (/) )
68	67	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> (inr ` z ) = (inr ` (/) ) )
69	64, 68	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = (inr ` (/) ) )
70	58, 63, 69	3eqtr4rd 2209	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) )
71		fveq2 5486	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) )
72	71	rspceeqv 2848	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
73	55, 70, 72	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
74	73	rexlimdva2 2586	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. 1o x = (inr ` z ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
75		djur 7034	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A ⊔ 1o ) <-> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
76	75	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( x e. ( A ⊔ 1o ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
77	76	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
78	53, 74, 77	mpjaod 708	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
79	78	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A ⊔ 1o ) E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
80		dffo3 5632	. . 3 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ A. x e. ( A ⊔ 1o ) E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
81	20, 79, 80	sylanbrc 414	. 2 |- ( ph -> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		omex 4570	. . . 4 |- om e. _V
83	82	mptex 5711	. . 3 |- ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) e. _V
84		foeq1 5406	. . 3 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
85	83, 84	spcev 2821	. 2 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
86	81, 85	syl 14	1 |- ( ph -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   omcom 4567   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010  inrcinr 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013

This theorem is referenced by:  ctssdc  7078