Theorem ctssdclemn0 7308

Description: Lemma for ctssdc 7311. The -. (/) e. S case. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssdclemn0.ss	|- ( ph -> S C_ om )
ctssdclemn0.dc	|- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
ctssdclemn0.f	|- ( ph -> F : S -onto-> A )
ctssdclemn0.n0	|- ( ph -> -. (/) e. S )

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemn0	|- ( ph -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   S, g   S, n

Allowed substitution hints:   ph( g, n)   A( n)   F( n)

Proof of Theorem ctssdclemn0

Dummy variables m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctssdclemn0.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : S -onto-> A )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> F : S -onto-> A )
3		fof 5559	. . . . . . . 8 |- ( F : S -onto-> A -> F : S --> A )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> F : S --> A )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> m e. S )
6	4, 5	ffvelcdmd 5783	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> ( F ` m ) e. A )
7		djulcl 7249	. . . . . 6 |- ( ( F ` m ) e. A -> (inl ` ( F ` m ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> (inl ` ( F ` m ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
9		0lt1o 6607	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		djurcl 7250	. . . . . . 7 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o )
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ -. m e. S ) -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
13		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n e. S <-> m e. S ) )
14	13	dcbid 845	. . . . . 6 |- ( n = m -> (DECID n e. S <-> DECID m e. S ) )
15		ctssdclemn0.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. S )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
18	14, 16, 17	rspcdva 2915	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> DECID m e. S )
19	8, 12, 18	ifcldadc 3635	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20	19	fmpttd 5802	. . 3 |- ( ph -> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) )
21	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> F : S -onto-> A )
22		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> z e. A )
23		foelrn 5892	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S -onto-> A /\ z e. A ) -> E. y e. S z = ( F ` y ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. S z = ( F ` y ) )
25		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> y e. S )
26	25	iftrued 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
27		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) )
28		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = y -> ( m e. S <-> y e. S ) )
29		2fveq3 5644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = y -> (inl ` ( F ` m ) ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
30	28, 29	ifbieq1d 3628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = y -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) = if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) )
31		ctssdclemn0.ss	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ om )
32	31	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> S C_ om )
33	32, 25	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> y e. om )
34	1, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : S --> A )
35	34	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> F : S --> A )
36	35, 25	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> ( F ` y ) e. A )
37		djulcl 7249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) e. A -> (inl ` ( F ` y ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> (inl ` ( F ` y ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
39	26, 38	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
40	27, 30, 33, 39	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) = if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) )
41		simpllr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = (inl ` z ) )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> z = ( F ` y ) )
43	42	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> (inl ` z ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = (inl ` ( F ` y ) ) )
45	26, 40, 44	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) -> ( z = ( F ` y ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
47	46	reximdva 2634	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> ( E. y e. S z = ( F ` y ) -> E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
48	24, 47	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
49		ssrexv 3292	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ om -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
50	31, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
52	48, 51	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
53	52	rexlimdva2 2653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
54		peano1 4692	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
55	54	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> (/) e. om )
56		ctssdclemn0.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. (/) e. S )
57	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> -. (/) e. S )
58	57	iffalsed 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) = (inr ` (/) ) )
59		eleq1 2294	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (/) -> ( m e. S <-> (/) e. S ) )
60		2fveq3 5644	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (/) -> (inl ` ( F ` m ) ) = (inl ` ( F ` (/) ) ) )
61	59, 60	ifbieq1d 3628	. . . . . . . . 9 |- ( m = (/) -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) = if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) )
62	58, 11	eqeltrdi 2322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
63	27, 61, 55, 62	fvmptd3 5740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) )
64		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = (inr ` z ) )
65		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> z e. 1o )
66		el1o 6604	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. 1o <-> z = (/) )
67	65, 66	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> z = (/) )
68	67	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> (inr ` z ) = (inr ` (/) ) )
69	64, 68	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = (inr ` (/) ) )
70	58, 63, 69	3eqtr4rd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) )
71		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) )
72	71	rspceeqv 2928	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
73	55, 70, 72	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
74	73	rexlimdva2 2653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. 1o x = (inr ` z ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
75		djur 7267	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A ⊔ 1o ) <-> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
76	75	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( x e. ( A ⊔ 1o ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
77	76	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
78	53, 74, 77	mpjaod 725	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
79	78	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A ⊔ 1o ) E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
80		dffo3 5794	. . 3 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ A. x e. ( A ⊔ 1o ) E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
81	20, 79, 80	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		omex 4691	. . . 4 |- om e. _V
83	82	mptex 5879	. . 3 |- ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) e. _V
84		foeq1 5555	. . 3 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
85	83, 84	spcev 2901	. 2 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
86	81, 85	syl 14	1 |- ( ph -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   |-> cmpt 4150   omcom 4688   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326   1oc1o 6574   ⊔ cdju 7235  inlcinl 7243  inrcinr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246

This theorem is referenced by:  ctssdc  7311