Theorem ctssdclemn0 7277

Description: Lemma for ctssdc 7280. The -. (/) e. S case. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ctssdclemn0.ss	|- ( ph -> S C_ om )
ctssdclemn0.dc	|- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
ctssdclemn0.f	|- ( ph -> F : S -onto-> A )
ctssdclemn0.n0	|- ( ph -> -. (/) e. S )

Assertion

Ref	Expression
ctssdclemn0	|- ( ph -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   S, g   S, n

Allowed substitution hints:   ph( g, n)   A( n)   F( n)

Proof of Theorem ctssdclemn0

Dummy variables m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctssdclemn0.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : S -onto-> A )
2	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> F : S -onto-> A )
3		fof 5548	. . . . . . . 8 |- ( F : S -onto-> A -> F : S --> A )
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> F : S --> A )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> m e. S )
6	4, 5	ffvelcdmd 5771	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> ( F ` m ) e. A )
7		djulcl 7218	. . . . . 6 |- ( ( F ` m ) e. A -> (inl ` ( F ` m ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ m e. S ) -> (inl ` ( F ` m ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
9		0lt1o 6586	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		djurcl 7219	. . . . . . 7 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o )
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. om ) /\ -. m e. S ) -> (inr ` (/) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
13		eleq1 2292	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( n e. S <-> m e. S ) )
14	13	dcbid 843	. . . . . 6 |- ( n = m -> (DECID n e. S <-> DECID m e. S ) )
15		ctssdclemn0.dc	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. om DECID n e. S )
16	15	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. S )
17		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
18	14, 16, 17	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> DECID m e. S )
19	8, 12, 18	ifcldadc 3632	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20	19	fmpttd 5790	. . 3 |- ( ph -> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) )
21	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> F : S -onto-> A )
22		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> z e. A )
23		foelrn 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : S -onto-> A /\ z e. A ) -> E. y e. S z = ( F ` y ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. S z = ( F ` y ) )
25		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> y e. S )
26	25	iftrued 3609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
27		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) )
28		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = y -> ( m e. S <-> y e. S ) )
29		2fveq3 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = y -> (inl ` ( F ` m ) ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
30	28, 29	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = y -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) = if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) )
31		ctssdclemn0.ss	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S C_ om )
32	31	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> S C_ om )
33	32, 25	sseldd 3225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> y e. om )
34	1, 3	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : S --> A )
35	34	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> F : S --> A )
36	35, 25	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> ( F ` y ) e. A )
37		djulcl 7218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` y ) e. A -> (inl ` ( F ` y ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> (inl ` ( F ` y ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
39	26, 38	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
40	27, 30, 33, 39	fvmptd3 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) = if ( y e. S , (inl ` ( F ` y ) ) , (inr ` (/) ) ) )
41		simpllr 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = (inl ` z ) )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> z = ( F ` y ) )
43	42	fveq2d 5631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> (inl ` z ) = (inl ` ( F ` y ) ) )
44	41, 43	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = (inl ` ( F ` y ) ) )
45	26, 40, 44	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) /\ z = ( F ` y ) ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
46	45	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) /\ y e. S ) -> ( z = ( F ` y ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
47	46	reximdva 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> ( E. y e. S z = ( F ` y ) -> E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
48	24, 47	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
49		ssrexv 3289	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ om -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
50	31, 49	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
51	50	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> ( E. y e. S x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
52	48, 51	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. A ) /\ x = (inl ` z ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
53	52	rexlimdva2 2651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
54		peano1 4686	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
55	54	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> (/) e. om )
56		ctssdclemn0.n0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. (/) e. S )
57	56	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> -. (/) e. S )
58	57	iffalsed 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) = (inr ` (/) ) )
59		eleq1 2292	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (/) -> ( m e. S <-> (/) e. S ) )
60		2fveq3 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( m = (/) -> (inl ` ( F ` m ) ) = (inl ` ( F ` (/) ) ) )
61	59, 60	ifbieq1d 3625	. . . . . . . . 9 |- ( m = (/) -> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) = if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) )
62	58, 11	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) e. ( A ⊔ 1o ) )
63	27, 61, 55, 62	fvmptd3 5728	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) = if ( (/) e. S , (inl ` ( F ` (/) ) ) , (inr ` (/) ) ) )
64		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = (inr ` z ) )
65		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> z e. 1o )
66		el1o 6583	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. 1o <-> z = (/) )
67	65, 66	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> z = (/) )
68	67	fveq2d 5631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> (inr ` z ) = (inr ` (/) ) )
69	64, 68	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = (inr ` (/) ) )
70	58, 63, 69	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) )
71		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) )
72	71	rspceeqv 2925	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` (/) ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
73	55, 70, 72	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) /\ z e. 1o ) /\ x = (inr ` z ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
74	73	rexlimdva2 2651	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. 1o x = (inr ` z ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
75		djur 7236	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A ⊔ 1o ) <-> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
76	75	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( x e. ( A ⊔ 1o ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
77	76	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> ( E. z e. A x = (inl ` z ) \/ E. z e. 1o x = (inr ` z ) ) )
78	53, 74, 77	mpjaod 723	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
79	78	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. x e. ( A ⊔ 1o ) E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) )
80		dffo3 5782	. . 3 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om --> ( A ⊔ 1o ) /\ A. x e. ( A ⊔ 1o ) E. y e. om x = ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) ` y ) ) )
81	20, 79, 80	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		omex 4685	. . . 4 |- om e. _V
83	82	mptex 5865	. . 3 |- ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) e. _V
84		foeq1 5544	. . 3 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
85	83, 84	spcev 2898	. 2 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. S , (inl ` ( F ` m ) ) , (inr ` (/) ) ) ) : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
86	81, 85	syl 14	1 |- ( ph -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   (/)c0 3491   ifcif 3602   |-> cmpt 4145   omcom 4682   -->wf 5314   -onto->wfo 5316   ` cfv 5318   1oc1o 6555   ⊔ cdju 7204  inlcinl 7212  inrcinr 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-1o 6562  df-dju 7205  df-inl 7214  df-inr 7215

This theorem is referenced by:  ctssdc  7280