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Theorem ctssdclemn0 6961
Description: Lemma for ctssdc 6964. The  -.  (/)  e.  S case. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ctssdclemn0.ss  |-  ( ph  ->  S  C_  om )
ctssdclemn0.dc  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  S )
ctssdclemn0.f  |-  ( ph  ->  F : S -onto-> A
)
ctssdclemn0.n0  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
ctssdclemn0  |-  ( ph  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
Distinct variable groups:    A, g    g, F    S, g    S, n
Allowed substitution hints:    ph( g, n)    A( n)    F( n)

Proof of Theorem ctssdclemn0
Dummy variables  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctssdclemn0.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : S -onto-> A
)
21ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  S )  ->  F : S -onto-> A )
3 fof 5313 . . . . . . . 8  |-  ( F : S -onto-> A  ->  F : S --> A )
42, 3syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  S )  ->  F : S --> A )
5 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  S )  ->  m  e.  S )
64, 5ffvelrnd 5522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  S )  ->  ( F `  m )  e.  A )
7 djulcl 6902 . . . . . 6  |-  ( ( F `  m )  e.  A  ->  (inl `  ( F `  m
) )  e.  ( A 1o ) )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  S )  ->  (inl `  ( F `  m
) )  e.  ( A 1o ) )
9 0lt1o 6303 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  1o
10 djurcl 6903 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( A 1o )
)
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (inr `  (/) )  e.  ( A 1o )
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  S )  ->  (inr `  (/) )  e.  ( A 1o )
)
13 eleq1 2178 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e.  S  <->  m  e.  S ) )
1413dcbid 806 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (DECID  n  e.  S  <-> DECID  m  e.  S )
)
15 ctssdclemn0.dc . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  S )
1615adantr 272 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  S )
17 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  m  e.  om )
1814, 16, 17rspcdva 2766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  -> DECID  m  e.  S
)
198, 12, 18ifcldadc 3469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  if (
m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) )  e.  ( A 1o ) )
2019fmpttd 5541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) : om --> ( A 1o ) )
211ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  F : S -onto-> A )
22 simplr 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  z  e.  A )
23 foelrn 5620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : S -onto-> A  /\  z  e.  A
)  ->  E. y  e.  S  z  =  ( F `  y ) )
2421, 22, 23syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  E. y  e.  S  z  =  ( F `  y ) )
25 simplr 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  S )
2625iftrued 3449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  if (
y  e.  S , 
(inl `  ( F `  y ) ) ,  (inr `  (/) ) )  =  (inl `  ( F `  y )
) )
27 eqid 2115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )  =  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )
28 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  y  ->  (
m  e.  S  <->  y  e.  S ) )
29 2fveq3 5392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  y  ->  (inl `  ( F `  m
) )  =  (inl
`  ( F `  y ) ) )
3028, 29ifbieq1d 3462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  y  ->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) )  =  if ( y  e.  S ,  (inl
`  ( F `  y ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )
31 ctssdclemn0.ss . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  C_  om )
3231ad5antr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  S  C_  om )
3332, 25sseldd 3066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  om )
341, 3syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : S --> A )
3534ad5antr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  F : S
--> A )
3635, 25ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  y )  e.  A
)
37 djulcl 6902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  y )  e.  A  ->  (inl `  ( F `  y
) )  e.  ( A 1o ) )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  (inl `  ( F `  y )
)  e.  ( A 1o ) )
3926, 38eqeltrd 2192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  if (
y  e.  S , 
(inl `  ( F `  y ) ) ,  (inr `  (/) ) )  e.  ( A 1o ) )
4027, 30, 33, 39fvmptd3 5480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y )  =  if ( y  e.  S ,  (inl
`  ( F `  y ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )
41 simpllr 506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  (inl `  z ) )
42 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  z  =  ( F `  y ) )
4342fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  (inl `  z
)  =  (inl `  ( F `  y ) ) )
4441, 43eqtrd 2148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  (inl `  ( F `  y ) ) )
4526, 40, 443eqtr4rd 2159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A
)  /\  x  =  (inl `  z ) )  /\  y  e.  S
)  /\  z  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl
`  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
4645ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  /\  y  e.  S )  ->  (
z  =  ( F `
 y )  ->  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
4746reximdva 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  ( E. y  e.  S  z  =  ( F `  y )  ->  E. y  e.  S  x  =  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl
`  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
4824, 47mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  E. y  e.  S  x  =  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl
`  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
49 ssrexv 3130 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  om  ->  ( E. y  e.  S  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
5031, 49syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  S  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
5150ad3antrrr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  ( E. y  e.  S  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
5248, 51mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  A )  /\  x  =  (inl `  z )
)  ->  E. y  e.  om  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
5352rexlimdva2 2527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  ->  ( E. z  e.  A  x  =  (inl `  z )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
54 peano1 4476 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
5554a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  (/)  e.  om )
56 ctssdclemn0.n0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  S )
5756ad3antrrr 481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  -.  (/)  e.  S
)
5857iffalsed 3452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  if ( (/) 
e.  S ,  (inl
`  ( F `  (/) ) ) ,  (inr
`  (/) ) )  =  (inr `  (/) ) )
59 eleq1 2178 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  (/)  ->  ( m  e.  S  <->  (/)  e.  S
) )
60 2fveq3 5392 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  (/)  ->  (inl `  ( F `  m ) )  =  (inl `  ( F `  (/) ) ) )
6159, 60ifbieq1d 3462 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  (/)  ->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) )  =  if ( (/)  e.  S ,  (inl `  ( F `  (/) ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )
6258, 11syl6eqel 2206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  if ( (/) 
e.  S ,  (inl
`  ( F `  (/) ) ) ,  (inr
`  (/) ) )  e.  ( A 1o )
)
6327, 61, 55, 62fvmptd3 5480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  (/) )  =  if ( (/)  e.  S ,  (inl `  ( F `  (/) ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )
64 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  x  =  (inr `  z ) )
65 simplr 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  z  e.  1o )
66 el1o 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  1o  <->  z  =  (/) )
6765, 66sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  z  =  (/) )
6867fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  (inr `  z
)  =  (inr `  (/) ) )
6964, 68eqtrd 2148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  x  =  (inr `  (/) ) )
7058, 63, 693eqtr4rd 2159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  x  =  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl
`  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  (/) ) )
71 fveq2 5387 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y )  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  (/) ) )
7271rspceeqv 2779 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  (/) ) )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
7355, 70, 72syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  /\  z  e.  1o )  /\  x  =  (inr `  z )
)  ->  E. y  e.  om  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
7473rexlimdva2 2527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  ->  ( E. z  e.  1o  x  =  (inr
`  z )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
75 djur 6920 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A 1o )  <-> 
( E. z  e.  A  x  =  (inl
`  z )  \/ 
E. z  e.  1o  x  =  (inr `  z
) ) )
7675biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A 1o )  ->  ( E. z  e.  A  x  =  (inl `  z )  \/ 
E. z  e.  1o  x  =  (inr `  z
) ) )
7776adantl 273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  ->  ( E. z  e.  A  x  =  (inl `  z )  \/ 
E. z  e.  1o  x  =  (inr `  z
) ) )
7853, 74, 77mpjaod 690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A 1o ) )  ->  E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
7978ralrimiva 2480 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A 1o ) E. y  e.  om  x  =  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) )
80 dffo3 5533 . . 3  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) : om -onto-> ( A 1o )  <->  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) : om --> ( A 1o )  /\  A. x  e.  ( A 1o ) E. y  e.  om  x  =  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) `  y ) ) )
8120, 79, 80sylanbrc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) : om -onto-> ( A 1o ) )
82 omex 4475 . . . 4  |-  om  e.  _V
8382mptex 5612 . . 3  |-  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S , 
(inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )  e.  _V
84 foeq1 5309 . . 3  |-  ( g  =  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl
`  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) )  ->  ( g : om -onto-> ( A 1o )  <-> 
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) : om -onto-> ( A 1o ) ) )
8583, 84spcev 2752 . 2  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  S ,  (inl `  ( F `  m ) ) ,  (inr `  (/) ) ) ) : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
8681, 85syl 14 1  |-  ( ph  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442    |-> cmpt 3957   omcom 4472   -->wf 5087   -onto->wfo 5089   ` cfv 5091   1oc1o 6272   ⊔ cdju 6888  inlcinl 6896  inrcinr 6897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-1o 6279  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899
This theorem is referenced by:  ctssdc  6964
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