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Theorem ctm 7142
Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctm  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> A ) )
Distinct variable group:    A, f, x

Proof of Theorem ctm
Dummy variables  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5521 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
2 f1of 5483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
31, 2mp1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
4 fconst6g 5436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( 1o  X.  { x }
) : 1o --> A )
54adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  ( 1o  X.  { x }
) : 1o --> A )
63, 5casef 7121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  -> case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A )
7 ffun 5390 . . . . . . . . 9  |-  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A  ->  Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) )
9 vex 2755 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  f  e.  _V )
11 cofunexg 6138 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  /\  f  e.  _V )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V )
128, 10, 11syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V )
13 fof 5460 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  f : om --> ( A 1o ) )
1413adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  f : om --> ( A 1o ) )
15 fco 5403 . . . . . . . . 9  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A  /\  f : om --> ( A 1o ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A )
166, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A )
17 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  f : om -onto-> ( A 1o ) )
18 djulcl 7084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  e.  ( A 1o ) )
1918adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  (inl `  y )  e.  ( A 1o )
)
20 foelrn 5777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  (inl `  y )  e.  ( A 1o ) )  ->  E. z  e.  om  (inl `  y )  =  ( f `  z
) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  om  (inl `  y )  =  ( f `  z
) )
22 fofn 5462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  f  Fn 
om )
2322ad4antlr 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  f  Fn  om )
24 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  z  e.  om )
25 fvco2 5609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
27 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (inl `  y
)  =  ( f `
 z ) )
2827fveq2d 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  (inl `  y ) )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
29 fnresi 5355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
31 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
3231fconst6 5437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o 
X.  { x }
) : 1o --> _V
33 ffun 5390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  X.  { x } ) : 1o --> _V  ->  Fun  ( 1o  X.  { x } ) )
3432, 33mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  Fun  ( 1o 
X.  { x }
) )
35 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  y  e.  A )
3630, 34, 35caseinl 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  (inl `  y ) )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 y ) )
3726, 28, 363eqtr2d 2228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 y ) )
38 fvresi 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 y )  =  y )
3935, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (  _I  |`  A ) `  y )  =  y )
4037, 39eqtr2d 2223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `  z
) )
4140ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  (
(inl `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4241reximdva 2592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e. 
om  (inl `  y
)  =  ( f `
 z )  ->  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4321, 42mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) )
4443ralrimiva 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `  z
) )
45 dffo3 5687 . . . . . . . 8  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A  <->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4616, 44, 45sylanbrc 417 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A )
47 foeq1 5456 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  ->  ( g : om -onto-> A  <->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A ) )
4847spcegv 2840 . . . . . . 7  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V  ->  (
(case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> A ) )
4912, 46, 48sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
)
5049ex 115 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
) )
5150exlimiv 1609 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. g  g : om -onto-> A ) )
5251exlimdv 1830 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
) )
53 foeq1 5456 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f : om -onto-> A  <->  g : om -onto-> A ) )
5453cbvexv 1930 . . 3  |-  ( E. f  f : om -onto-> A 
<->  E. g  g : om -onto-> A )
5552, 54imbitrrdi 162 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
56 ctmlemr 7141 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> A  ->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) ) )
5755, 56impbid 129 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   {csn 3610    _I cid 4309   omcom 4610    X. cxp 4645    |` cres 4649    o. ccom 4651   Fun wfun 5232    Fn wfn 5233   -->wf 5234   -onto->wfo 5236   -1-1-onto->wf1o 5237   ` cfv 5238   1oc1o 6438   ⊔ cdju 7070  inlcinl 7078  casecdjucase 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-1o 6445  df-dju 7071  df-inl 7080  df-inr 7081  df-case 7117
This theorem is referenced by:  ctssdc  7146  enumct  7148  omct  7150  nninfct  12083  unbendc  12516  pw1nct  15239  nnnninfen  15257
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