Theorem ctm 7074

Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctm	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ctm

Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5470	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
2		f1of 5432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
3	1, 2	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( _I |` A ) : A --> A )
4		fconst6g 5386	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
6	3, 5	casef 7053	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A )
7		ffun 5340	. . . . . . . . 9 |- (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
9		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f e. _V )
11		cofunexg 6077	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) /\ f e. _V ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
12	8, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
13		fof 5410	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
15		fco 5353	. . . . . . . . 9 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A /\ f : om --> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
16	6, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
17		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
18		djulcl 7016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20		foelrn 5721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
22		fofn 5412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f Fn om )
23	22	ad4antlr 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> f Fn om )
24		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> z e. om )
25		fvco2 5555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn om /\ z e. om ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
27		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (inl ` y ) = ( f ` z ) )
28	27	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
29		fnresi 5305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _I |` A ) Fn A
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( _I |` A ) Fn A )
31		vex 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
32	31	fconst6 5387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V
33		ffun 5340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V -> Fun ( 1o X. { x } ) )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> Fun ( 1o X. { x } ) )
35		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y e. A )
36	30, 34, 35	caseinl 7056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
37	26, 28, 36	3eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
38		fvresi 5678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
40	37, 39	eqtr2d 2199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
41	40	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) -> ( (inl ` y ) = ( f ` z ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
42	41	reximdva 2568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
44	43	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
45		dffo3 5632	. . . . . . . 8 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A <-> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A /\ A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
46	16, 44, 45	sylanbrc 414	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A )
47		foeq1 5406	. . . . . . . 8 |- ( g = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) -> ( g : om -onto-> A <-> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A ) )
48	47	spcegv 2814	. . . . . . 7 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
49	12, 46, 48	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> A )
50	49	ex 114	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
51	50	exlimiv 1586	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
52	51	exlimdv 1807	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
53		foeq1 5406	. . . 4 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> A <-> g : om -onto-> A ) )
54	53	cbvexv 1906	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> A <-> E. g g : om -onto-> A )
55	52, 54	syl6ibr 161	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. f f : om -onto-> A ) )
56		ctmlemr 7073	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
57	55, 56	impbid 128	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   {csn 3576   _I cid 4266   omcom 4567   X. cxp 4602   |` cres 4606   o. ccom 4608   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010  casecdjucase 7048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by:  ctssdc  7078  enumct  7080  omct  7082  unbendc  12387  pw1nct  13893