Theorem ctm 7086

Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctm	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ctm

Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5480	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
2		f1of 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
3	1, 2	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( _I |` A ) : A --> A )
4		fconst6g 5396	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
5	4	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
6	3, 5	casef 7065	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A )
7		ffun 5350	. . . . . . . . 9 |- (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
9		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f e. _V )
11		cofunexg 6088	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) /\ f e. _V ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
12	8, 10, 11	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
13		fof 5420	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
15		fco 5363	. . . . . . . . 9 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A /\ f : om --> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
16	6, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
17		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
18		djulcl 7028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20		foelrn 5732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
22		fofn 5422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f Fn om )
23	22	ad4antlr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> f Fn om )
24		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> z e. om )
25		fvco2 5565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn om /\ z e. om ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
27		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (inl ` y ) = ( f ` z ) )
28	27	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
29		fnresi 5315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _I |` A ) Fn A
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( _I |` A ) Fn A )
31		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
32	31	fconst6 5397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V
33		ffun 5350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V -> Fun ( 1o X. { x } ) )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> Fun ( 1o X. { x } ) )
35		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y e. A )
36	30, 34, 35	caseinl 7068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
37	26, 28, 36	3eqtr2d 2209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
38		fvresi 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
40	37, 39	eqtr2d 2204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
41	40	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) -> ( (inl ` y ) = ( f ` z ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
42	41	reximdva 2572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
44	43	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
45		dffo3 5643	. . . . . . . 8 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A <-> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A /\ A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
46	16, 44, 45	sylanbrc 415	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A )
47		foeq1 5416	. . . . . . . 8 |- ( g = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) -> ( g : om -onto-> A <-> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A ) )
48	47	spcegv 2818	. . . . . . 7 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
49	12, 46, 48	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> A )
50	49	ex 114	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
51	50	exlimiv 1591	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
52	51	exlimdv 1812	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
53		foeq1 5416	. . . 4 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> A <-> g : om -onto-> A ) )
54	53	cbvexv 1911	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> A <-> E. g g : om -onto-> A )
55	52, 54	syl6ibr 161	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. f f : om -onto-> A ) )
56		ctmlemr 7085	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
57	55, 56	impbid 128	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   {csn 3583   _I cid 4273   omcom 4574   X. cxp 4609   |` cres 4613   o. ccom 4615   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   1oc1o 6388   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  casecdjucase 7060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061

This theorem is referenced by:  ctssdc  7090  enumct  7092  omct  7094  unbendc  12409  pw1nct  14036