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Theorem ctm 7098
Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctm  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> A ) )
Distinct variable group:    A, f, x

Proof of Theorem ctm
Dummy variables  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5491 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
2 f1of 5453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
31, 2mp1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
4 fconst6g 5406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( 1o  X.  { x }
) : 1o --> A )
54adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  ( 1o  X.  { x }
) : 1o --> A )
63, 5casef 7077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  -> case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A )
7 ffun 5360 . . . . . . . . 9  |-  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A  ->  Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) )
9 vex 2738 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  f  e.  _V )
11 cofunexg 6100 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  /\  f  e.  _V )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V )
128, 10, 11syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V )
13 fof 5430 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  f : om --> ( A 1o ) )
1413adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  f : om --> ( A 1o ) )
15 fco 5373 . . . . . . . . 9  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A  /\  f : om --> ( A 1o ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A )
166, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A )
17 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  f : om -onto-> ( A 1o ) )
18 djulcl 7040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  e.  ( A 1o ) )
1918adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  (inl `  y )  e.  ( A 1o )
)
20 foelrn 5744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  (inl `  y )  e.  ( A 1o ) )  ->  E. z  e.  om  (inl `  y )  =  ( f `  z
) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  om  (inl `  y )  =  ( f `  z
) )
22 fofn 5432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  f  Fn 
om )
2322ad4antlr 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  f  Fn  om )
24 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  z  e.  om )
25 fvco2 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
27 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (inl `  y
)  =  ( f `
 z ) )
2827fveq2d 5511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  (inl `  y ) )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
29 fnresi 5325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
31 vex 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
3231fconst6 5407 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o 
X.  { x }
) : 1o --> _V
33 ffun 5360 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  X.  { x } ) : 1o --> _V  ->  Fun  ( 1o  X.  { x } ) )
3432, 33mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  Fun  ( 1o 
X.  { x }
) )
35 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  y  e.  A )
3630, 34, 35caseinl 7080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  (inl `  y ) )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 y ) )
3726, 28, 363eqtr2d 2214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 y ) )
38 fvresi 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 y )  =  y )
3935, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (  _I  |`  A ) `  y )  =  y )
4037, 39eqtr2d 2209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `  z
) )
4140ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  (
(inl `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4241reximdva 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e. 
om  (inl `  y
)  =  ( f `
 z )  ->  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4321, 42mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) )
4443ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `  z
) )
45 dffo3 5655 . . . . . . . 8  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A  <->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4616, 44, 45sylanbrc 417 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A )
47 foeq1 5426 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  ->  ( g : om -onto-> A  <->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A ) )
4847spcegv 2823 . . . . . . 7  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V  ->  (
(case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> A ) )
4912, 46, 48sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
)
5049ex 115 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
) )
5150exlimiv 1596 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. g  g : om -onto-> A ) )
5251exlimdv 1817 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
) )
53 foeq1 5426 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f : om -onto-> A  <->  g : om -onto-> A ) )
5453cbvexv 1916 . . 3  |-  ( E. f  f : om -onto-> A 
<->  E. g  g : om -onto-> A )
5552, 54syl6ibr 162 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
56 ctmlemr 7097 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> A  ->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) ) )
5755, 56impbid 129 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   {csn 3589    _I cid 4282   omcom 4583    X. cxp 4618    |` cres 4622    o. ccom 4624   Fun wfun 5202    Fn wfn 5203   -->wf 5204   -onto->wfo 5206   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208   1oc1o 6400   ⊔ cdju 7026  inlcinl 7034  casecdjucase 7072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-1o 6407  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073
This theorem is referenced by:  ctssdc  7102  enumct  7104  omct  7106  unbendc  12422  pw1nct  14313
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