Theorem ctm 7184

Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctm	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ctm

Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5545	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
2		f1of 5507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
3	1, 2	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( _I |` A ) : A --> A )
4		fconst6g 5459	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
6	3, 5	casef 7163	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A )
7		ffun 5413	. . . . . . . . 9 |- (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
9		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f e. _V )
11		cofunexg 6175	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) /\ f e. _V ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
13		fof 5483	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
15		fco 5426	. . . . . . . . 9 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A /\ f : om --> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
16	6, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
17		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
18		djulcl 7126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20		foelrn 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
22		fofn 5485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f Fn om )
23	22	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> f Fn om )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> z e. om )
25		fvco2 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn om /\ z e. om ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (inl ` y ) = ( f ` z ) )
28	27	fveq2d 5565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
29		fnresi 5378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _I |` A ) Fn A
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( _I |` A ) Fn A )
31		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
32	31	fconst6 5460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V
33		ffun 5413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V -> Fun ( 1o X. { x } ) )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> Fun ( 1o X. { x } ) )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y e. A )
36	30, 34, 35	caseinl 7166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
37	26, 28, 36	3eqtr2d 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
38		fvresi 5758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
40	37, 39	eqtr2d 2230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
41	40	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) -> ( (inl ` y ) = ( f ` z ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
42	41	reximdva 2599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
44	43	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
45		dffo3 5712	. . . . . . . 8 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A <-> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A /\ A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
46	16, 44, 45	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A )
47		foeq1 5479	. . . . . . . 8 |- ( g = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) -> ( g : om -onto-> A <-> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A ) )
48	47	spcegv 2852	. . . . . . 7 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
49	12, 46, 48	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> A )
50	49	ex 115	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
51	50	exlimiv 1612	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
52	51	exlimdv 1833	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
53		foeq1 5479	. . . 4 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> A <-> g : om -onto-> A ) )
54	53	cbvexv 1933	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> A <-> E. g g : om -onto-> A )
55	52, 54	imbitrrdi 162	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. f f : om -onto-> A ) )
56		ctmlemr 7183	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
57	55, 56	impbid 129	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   {csn 3623   _I cid 4324   omcom 4627   X. cxp 4662   |` cres 4666   o. ccom 4668   Fun wfun 5253   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   1oc1o 6476   ⊔ cdju 7112  inlcinl 7120  casecdjucase 7158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-dju 7113  df-inl 7122  df-inr 7123  df-case 7159

This theorem is referenced by:  ctssdc  7188  enumct  7190  omct  7192  nninfct  12233  unbendc  12696  pw1nct  15734  nnnninfen  15752