Theorem ctm 7098

Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctm	|- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Distinct variable group:   A, f, x

Proof of Theorem ctm

Dummy variables g y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5491	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
2		f1of 5453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
3	1, 2	mp1i 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( _I |` A ) : A --> A )
4		fconst6g 5406	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> ( 1o X. { x } ) : 1o --> A )
6	3, 5	casef 7077	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A )
7		ffun 5360	. . . . . . . . 9 |- (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) )
9		vex 2738	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f e. _V )
11		cofunexg 6100	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) /\ f e. _V ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
12	8, 10, 11	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V )
13		fof 5430	. . . . . . . . . 10 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> f : om --> ( A ⊔ 1o ) )
15		fco 5373	. . . . . . . . 9 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) : ( A ⊔ 1o ) --> A /\ f : om --> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
16	6, 14, 15	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A )
17		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
18		djulcl 7040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. A -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) )
20		foelrn 5744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) /\ (inl ` y ) e. ( A ⊔ 1o ) ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) )
22		fofn 5432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> f Fn om )
23	22	ad4antlr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> f Fn om )
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> z e. om )
25		fvco2 5577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn om /\ z e. om ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (inl ` y ) = ( f ` z ) )
28	27	fveq2d 5511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` ( f ` z ) ) )
29		fnresi 5325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _I |` A ) Fn A
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( _I |` A ) Fn A )
31		vex 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
32	31	fconst6 5407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V
33		ffun 5360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1o X. { x } ) : 1o --> _V -> Fun ( 1o X. { x } ) )
34	32, 33	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> Fun ( 1o X. { x } ) )
35		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y e. A )
36	30, 34, 35	caseinl 7080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) ` (inl ` y ) ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
37	26, 28, 36	3eqtr2d 2214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) = ( ( _I |` A ) ` y ) )
38		fvresi 5701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
40	37, 39	eqtr2d 2209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) /\ (inl ` y ) = ( f ` z ) ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
41	40	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) /\ z e. om ) -> ( (inl ` y ) = ( f ` z ) -> y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
42	41	reximdva 2577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. om (inl ` y ) = ( f ` z ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) /\ y e. A ) -> E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
44	43	ralrimiva 2548	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) )
45		dffo3 5655	. . . . . . . 8 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A <-> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om --> A /\ A. y e. A E. z e. om y = ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) ` z ) ) )
46	16, 44, 45	sylanbrc 417	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A )
47		foeq1 5426	. . . . . . . 8 |- ( g = (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) -> ( g : om -onto-> A <-> (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A ) )
48	47	spcegv 2823	. . . . . . 7 |- ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) e. _V -> ( (case ( ( _I |` A ) , ( 1o X. { x } ) ) o. f ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A ) )
49	12, 46, 48	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) -> E. g g : om -onto-> A )
50	49	ex 115	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
51	50	exlimiv 1596	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
52	51	exlimdv 1817	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. g g : om -onto-> A ) )
53		foeq1 5426	. . . 4 |- ( f = g -> ( f : om -onto-> A <-> g : om -onto-> A ) )
54	53	cbvexv 1916	. . 3 |- ( E. f f : om -onto-> A <-> E. g g : om -onto-> A )
55	52, 54	syl6ibr 162	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. f f : om -onto-> A ) )
56		ctmlemr 7097	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
57	55, 56	impbid 129	1 |- ( E. x x e. A -> ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454   _Vcvv 2735   {csn 3589   _I cid 4282   omcom 4583   X. cxp 4618   |` cres 4622   o. ccom 4624   Fun wfun 5202   Fn wfn 5203   -->wf 5204   -onto->wfo 5206   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208   1oc1o 6400   ⊔ cdju 7026  inlcinl 7034  casecdjucase 7072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-1o 6407  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073

This theorem is referenced by:  ctssdc  7102  enumct  7104  omct  7106  unbendc  12422  pw1nct  14313