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Theorem ctm 7102
Description: Two equivalent definitions of countable for an inhabited set. Remark of [BauerSwan], p. 14:3. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctm  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> A ) )
Distinct variable group:    A, f, x

Proof of Theorem ctm
Dummy variables  g  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
2 f1of 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
31, 2mp1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
4 fconst6g 5410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( 1o  X.  { x }
) : 1o --> A )
54adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  ( 1o  X.  { x }
) : 1o --> A )
63, 5casef 7081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  -> case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A )
7 ffun 5364 . . . . . . . . 9  |-  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A  ->  Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) )
86, 7syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) )
9 vex 2740 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  f  e.  _V )
11 cofunexg 6104 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  /\  f  e.  _V )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V )
128, 10, 11syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V )
13 fof 5434 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  f : om --> ( A 1o ) )
1413adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  f : om --> ( A 1o ) )
15 fco 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) : ( A 1o ) --> A  /\  f : om --> ( A 1o ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A )
166, 14, 15syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A )
17 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  f : om -onto-> ( A 1o ) )
18 djulcl 7044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  (inl `  y )  e.  ( A 1o ) )
1918adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  (inl `  y )  e.  ( A 1o )
)
20 foelrn 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -onto-> ( A 1o )  /\  (inl `  y )  e.  ( A 1o ) )  ->  E. z  e.  om  (inl `  y )  =  ( f `  z
) )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  om  (inl `  y )  =  ( f `  z
) )
22 fofn 5436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> ( A 1o )  ->  f  Fn 
om )
2322ad4antlr 495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  f  Fn  om )
24 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  z  e.  om )
25 fvco2 5581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  om  /\  z  e.  om )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
27 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (inl `  y
)  =  ( f `
 z ) )
2827fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  (inl `  y ) )  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  ( f `  z
) ) )
29 fnresi 5329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  _I  |`  A )  Fn  A
3029a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (  _I  |`  A )  Fn  A
)
31 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
3231fconst6 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o 
X.  { x }
) : 1o --> _V
33 ffun 5364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  X.  { x } ) : 1o --> _V  ->  Fun  ( 1o  X.  { x } ) )
3432, 33mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  Fun  ( 1o 
X.  { x }
) )
35 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  y  e.  A )
3630, 34, 35caseinl 7084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  (case (
(  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) ) `  (inl `  y ) )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 y ) )
3726, 28, 363eqtr2d 2216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z )  =  ( (  _I  |`  A ) `
 y ) )
38 fvresi 5705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  (
(  _I  |`  A ) `
 y )  =  y )
3935, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  ( (  _I  |`  A ) `  y )  =  y )
4037, 39eqtr2d 2211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  /\  (inl `  y )  =  ( f `  z ) )  ->  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `  z
) )
4140ex 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  om )  ->  (
(inl `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4241reximdva 2579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( E. z  e. 
om  (inl `  y
)  =  ( f `
 z )  ->  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4321, 42mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  /\  y  e.  A )  ->  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) )
4443ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  A. y  e.  A  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `  z
) )
45 dffo3 5659 . . . . . . . 8  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A  <->  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om --> A  /\  A. y  e.  A  E. z  e.  om  y  =  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) `
 z ) ) )
4616, 44, 45sylanbrc 417 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A )
47 foeq1 5430 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  ->  ( g : om -onto-> A  <->  (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A ) )
4847spcegv 2825 . . . . . . 7  |-  ( (case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f )  e.  _V  ->  (
(case ( (  _I  |`  A ) ,  ( 1o  X.  { x } ) )  o.  f ) : om -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> A ) )
4912, 46, 48sylc 62 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  f : om -onto-> ( A 1o ) )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
)
5049ex 115 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
) )
5150exlimiv 1598 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. g  g : om -onto-> A ) )
5251exlimdv 1819 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
) )
53 foeq1 5430 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
f : om -onto-> A  <->  g : om -onto-> A ) )
5453cbvexv 1918 . . 3  |-  ( E. f  f : om -onto-> A 
<->  E. g  g : om -onto-> A )
5552, 54syl6ibr 162 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
56 ctmlemr 7101 . 2  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> A  ->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) ) )
5755, 56impbid 129 1  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. f  f : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   {csn 3591    _I cid 4285   omcom 4586    X. cxp 4621    |` cres 4625    o. ccom 4627   Fun wfun 5206    Fn wfn 5207   -->wf 5208   -onto->wfo 5210   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212   1oc1o 6404   ⊔ cdju 7030  inlcinl 7038  casecdjucase 7076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077
This theorem is referenced by:  ctssdc  7106  enumct  7108  omct  7110  unbendc  12438  pw1nct  14408
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