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Theorem ctssdc 7086
Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7122. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctssdc  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  <->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) )
Distinct variable group:    A, f, s, n

Proof of Theorem ctssdc
Dummy variables  g  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  f :
s -onto-> A )
2 fof 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : s -onto-> A  -> 
f : s --> A )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  f :
s --> A )
43ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  s )  ->  f :
s --> A )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  s )  ->  m  e.  s )
64, 5ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  s )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
73ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  s )  ->  f : s --> A )
8 simpllr 529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  s )  ->  (/)  e.  s )
97, 8ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  s )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
10 elequ1 2145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e.  s  <->  m  e.  s ) )
1110dcbid 833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (DECID  n  e.  s  <-> DECID  m  e.  s )
)
12 simpll2 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
13 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  ->  m  e.  om )
1411, 12, 13rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  -> DECID 
m  e.  s )
156, 9, 14ifcldadc 3554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  ->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) )  e.  A
)
1615fmpttd 5648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om --> A )
1716ffnd 5346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  Fn 
om )
18 fvelrnb 5542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  Fn  om  ->  ( y  e.  ran  (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  <->  E. z  e.  om  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  ran  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  <->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
201ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  f :
s -onto-> A )
21 foelrn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : s -onto-> A  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  s  y  =  ( f `  z
) )
2220, 21sylancom 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  s  y  =  ( f `  z
) )
23 simpll1 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  s  C_  om )
24 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) )  =  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )
25 elequ1 2145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  z  ->  (
m  e.  s  <->  z  e.  s ) )
26 fveq2 5494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  z  ->  (
f `  m )  =  ( f `  z ) )
2725, 26ifbieq1d 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  z  ->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) )  =  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) ) )
2823sselda 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  om )
293ad4antr 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  z  e.  s )  ->  f : s --> A )
30 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  s )
3129, 30ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  z  e.  s )  ->  (
f `  z )  e.  A )
323ffvelrnda 5628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( f `  (/) )  e.  A
)
3332ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  -.  z  e.  s )  ->  ( f `  (/) )  e.  A )
34 elequ1 2145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  z  ->  (
n  e.  s  <->  z  e.  s ) )
3534dcbid 833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  z  ->  (DECID  n  e.  s  <-> DECID  z  e.  s )
)
36 simp2 993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
3736ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
3835, 37, 28rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  -> DECID  z  e.  s
)
3931, 33, 38ifcldadc 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) )  e.  A )
4024, 27, 28, 39fvmptd3 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) ) )
41 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  s )
4241iftrued 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) )  =  ( f `  z ) )
4340, 42eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  ( f `  z ) )
4443adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  y  =  ( f `  z ) )  -> 
( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  ( f `  z ) )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  y  =  ( f `  z ) )  -> 
y  =  ( f `
 z ) )
4644, 45eqtr4d 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  y  =  ( f `  z ) )  -> 
( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y )
4746ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
4847reximdva 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  s  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  s  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
49 ssrexv 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  om  ->  ( E. z  e.  s  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
5023, 48, 49sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  s  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
5122, 50mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )
5251ex 114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  A  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y )
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
553ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  z  e.  s )  ->  f :
s --> A )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  s )
5755, 56ffvelrnd 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  z  e.  s )  ->  ( f `  z )  e.  A
)
5832ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  -.  z  e.  s )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
59 simpll2 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
6035, 59, 54rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  -> DECID 
z  e.  s )
6157, 58, 60ifcldadc 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) )  e.  A
)
6224, 27, 54, 61fvmptd3 5587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  if ( z  e.  s ,  ( f `
 z ) ,  ( f `  (/) ) ) )
6362, 61eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  e.  A )
6463adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  e.  A )
6553, 64eqeltrrd 2248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )  ->  y  e.  A )
6665rexlimdva2 2590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( E. z  e.  om  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y  ->  y  e.  A ) )
6752, 66impbid 128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  A  <->  E. z  e.  om  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
6819, 67bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  ran  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  <->  y  e.  A ) )
6968eqrdv 2168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ran  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) )  =  A )
70 df-fo 5202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A  <->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  Fn  om  /\  ran  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  =  A ) )
7117, 69, 70sylanbrc 415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A )
72 omex 4575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  _V
7372mptex 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) )  e.  _V
74 foeq1 5414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  -> 
( g : om -onto-> A 
<->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A
) )
7573, 74spcev 2825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> A )
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
)
77 elex2 2746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. x  x  e.  A )
7832, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  E. x  x  e.  A )
79 ctm 7082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. g  g : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto-> A ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( E. g  g : om -onto->
( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto-> A ) )
8176, 80mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
82 simpl1 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  -> 
s  C_  om )
8336adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
841adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  -> 
f : s -onto-> A )
85 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  ->  -.  (/)  e.  s )
8682, 83, 84, 85ctssdclemn0 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
87 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( n  e.  s  <->  (/)  e.  s ) )
8887dcbid 833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  (DECID  n  e.  s  <-> DECID  (/) 
e.  s ) )
89 peano1 4576 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  om
9089a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  (/)  e.  om )
9188, 36, 90rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  -> DECID  (/)  e.  s )
92 exmiddc 831 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  (/)  e.  s  ->  ( (/)  e.  s  \/  -.  (/)  e.  s ) )
9391, 92syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  ( (/)  e.  s  \/  -.  (/)  e.  s ) )
9481, 86, 93mpjaodan 793 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
95943expia 1200 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s
)  ->  ( f : s -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) ) )
9695exlimdv 1812 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s
)  ->  ( E. f  f : s
-onto-> A  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) ) )
97963impia 1195 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  E. f  f : s -onto-> A )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
98973com23 1204 . . . 4  |-  ( ( s  C_  om  /\  E. f  f : s
-onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
9998exlimiv 1591 . . 3  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
100 foeq1 5414 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  (
g : om -onto-> ( A 1o )  <->  f : om -onto-> ( A 1o ) ) )
101100cbvexv 1911 . . 3  |-  ( E. g  g : om -onto->
( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto->
( A 1o )
)
10299, 101sylib 121 . 2  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  ->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) )
103 ctssdclemr 7085 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
104102, 103impbii 125 1  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  <->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3525    |-> cmpt 4048   omcom 4572   ran crn 4610    Fn wfn 5191   -->wf 5192   -onto->wfo 5194   ` cfv 5196   1oc1o 6385   ⊔ cdju 7010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-1o 6392  df-dju 7011  df-inl 7020  df-inr 7021  df-case 7057
This theorem is referenced by:  ctiunct  12382  ssomct  12387
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