Theorem ctssdc 7106

Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7142. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdc	|- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, s, n

Proof of Theorem ctssdc

Dummy variables g m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s -onto-> A )
2		fof 5434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : s -onto-> A -> f : s --> A )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s --> A )
4	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> f : s --> A )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> m e. s )
6	4, 5	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> ( f ` m ) e. A )
7	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> f : s --> A )
8		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> (/) e. s )
9	7, 8	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
10		elequ1 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( n e. s <-> m e. s ) )
11	10	dcbid 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> (DECID n e. s <-> DECID m e. s ) )
12		simpll2 1037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> m e. om )
14	11, 12, 13	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> DECID m e. s )
15	6, 9, 14	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
16	15	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om --> A )
17	16	ffnd 5362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om )
18		fvelrnb 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
20	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> f : s -onto-> A )
21		foelrn 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : s -onto-> A /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
22	20, 21	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
23		simpll1 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> s C_ om )
24		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) )
25		elequ1 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( m e. s <-> z e. s ) )
26		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( f ` m ) = ( f ` z ) )
27	25, 26	ifbieq1d 3556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = z -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
28	23	sselda 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. om )
29	3	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> z e. s )
31	29, 30	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
32	3	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
33	32	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
34		elequ1 2152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = z -> ( n e. s <-> z e. s ) )
35	34	dcbid 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = z -> (DECID n e. s <-> DECID z e. s ) )
36		simp2 998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> A. n e. om DECID n e. s )
37	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
38	35, 37, 28	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> DECID z e. s )
39	31, 33, 38	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
40	24, 27, 28, 39	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. s )
42	41	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) = ( f ` z ) )
43	40, 42	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> y = ( f ` z ) )
46	44, 45	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
47	46	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( y = ( f ` z ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
48	47	reximdva 2579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
49		ssrexv 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ om -> ( E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
50	23, 48, 49	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
51	22, 50	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> z e. om )
55	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> z e. s )
57	55, 56	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
58	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
59		simpll2 1037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
60	35, 59, 54	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> DECID z e. s )
61	57, 58, 60	ifcldadc 3563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
62	24, 27, 54, 61	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
63	62, 61	eqeltrd 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
65	53, 64	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> y e. A )
66	65	rexlimdva2 2597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> y e. A ) )
67	52, 66	impbid 129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
68	19, 67	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> y e. A ) )
69	68	eqrdv 2175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A )
70		df-fo 5218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om /\ ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A ) )
71	17, 69, 70	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
72		omex 4589	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. _V
73	72	mptex 5738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
74		foeq1 5430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
75	73, 74	spcev 2832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A )
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> A )
77		elex2 2753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
78	32, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. x x e. A )
79		ctm 7102	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
81	76, 80	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		simpl1 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> s C_ om )
83	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
84	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> f : s -onto-> A )
85		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> -. (/) e. s )
86	82, 83, 84, 85	ctssdclemn0 7103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( n e. s <-> (/) e. s ) )
88	87	dcbid 838	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> (DECID n e. s <-> DECID (/) e. s ) )
89		peano1 4590	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> (/) e. om )
91	88, 36, 90	rspcdva 2846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> DECID (/) e. s )
92		exmiddc 836	. . . . . . . . . 10 |- (DECID (/) e. s -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
94	81, 86, 93	mpjaodan 798	. . . . . . . 8 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
95	94	3expia 1205	. . . . . . 7 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
96	95	exlimdv 1819	. . . . . 6 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( E. f f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
97	96	3impia 1200	. . . . 5 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ E. f f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
98	97	3com23 1209	. . . 4 |- ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
99	98	exlimiv 1598	. . 3 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
100		foeq1 5430	. . . 4 |- ( g = f -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
101	100	cbvexv 1918	. . 3 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
102	99, 101	sylib 122	. 2 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
103		ctssdclemr 7105	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
104	102, 103	impbii 126	1 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   (/)c0 3422   ifcif 3534   |-> cmpt 4061   omcom 4586   ran crn 4624   Fn wfn 5207   -->wf 5208   -onto->wfo 5210   ` cfv 5212   1oc1o 6404   ⊔ cdju 7030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-1o 6411  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077

This theorem is referenced by:  ctiunct  12424  ssomct  12429