Theorem ctssdc 7078

Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7114. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdc	|- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, s, n

Proof of Theorem ctssdc

Dummy variables g m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s -onto-> A )
2		fof 5410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : s -onto-> A -> f : s --> A )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s --> A )
4	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> f : s --> A )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> m e. s )
6	4, 5	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> ( f ` m ) e. A )
7	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> f : s --> A )
8		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> (/) e. s )
9	7, 8	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
10		elequ1 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( n e. s <-> m e. s ) )
11	10	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> (DECID n e. s <-> DECID m e. s ) )
12		simpll2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
13		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> m e. om )
14	11, 12, 13	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> DECID m e. s )
15	6, 9, 14	ifcldadc 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
16	15	fmpttd 5640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om --> A )
17	16	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om )
18		fvelrnb 5534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
20	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> f : s -onto-> A )
21		foelrn 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : s -onto-> A /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
22	20, 21	sylancom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
23		simpll1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> s C_ om )
24		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) )
25		elequ1 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( m e. s <-> z e. s ) )
26		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( f ` m ) = ( f ` z ) )
27	25, 26	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = z -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
28	23	sselda 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. om )
29	3	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
30		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> z e. s )
31	29, 30	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
32	3	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
33	32	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
34		elequ1 2140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = z -> ( n e. s <-> z e. s ) )
35	34	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = z -> (DECID n e. s <-> DECID z e. s ) )
36		simp2 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> A. n e. om DECID n e. s )
37	36	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
38	35, 37, 28	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> DECID z e. s )
39	31, 33, 38	ifcldadc 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
40	24, 27, 28, 39	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. s )
42	41	iftrued 3527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) = ( f ` z ) )
43	40, 42	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
45		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> y = ( f ` z ) )
46	44, 45	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
47	46	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( y = ( f ` z ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
48	47	reximdva 2568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
49		ssrexv 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ om -> ( E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
50	23, 48, 49	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
51	22, 50	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
52	51	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> z e. om )
55	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> z e. s )
57	55, 56	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
58	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
59		simpll2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
60	35, 59, 54	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> DECID z e. s )
61	57, 58, 60	ifcldadc 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
62	24, 27, 54, 61	fvmptd3 5579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
63	62, 61	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
65	53, 64	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> y e. A )
66	65	rexlimdva2 2586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> y e. A ) )
67	52, 66	impbid 128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
68	19, 67	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> y e. A ) )
69	68	eqrdv 2163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A )
70		df-fo 5194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om /\ ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A ) )
71	17, 69, 70	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
72		omex 4570	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. _V
73	72	mptex 5711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
74		foeq1 5406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
75	73, 74	spcev 2821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A )
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> A )
77		elex2 2742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
78	32, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. x x e. A )
79		ctm 7074	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
81	76, 80	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		simpl1 990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> s C_ om )
83	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
84	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> f : s -onto-> A )
85		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> -. (/) e. s )
86	82, 83, 84, 85	ctssdclemn0 7075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( n e. s <-> (/) e. s ) )
88	87	dcbid 828	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> (DECID n e. s <-> DECID (/) e. s ) )
89		peano1 4571	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> (/) e. om )
91	88, 36, 90	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> DECID (/) e. s )
92		exmiddc 826	. . . . . . . . . 10 |- (DECID (/) e. s -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
94	81, 86, 93	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
95	94	3expia 1195	. . . . . . 7 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
96	95	exlimdv 1807	. . . . . 6 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( E. f f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
97	96	3impia 1190	. . . . 5 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ E. f f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
98	97	3com23 1199	. . . 4 |- ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
99	98	exlimiv 1586	. . 3 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
100		foeq1 5406	. . . 4 |- ( g = f -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
101	100	cbvexv 1906	. . 3 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
102	99, 101	sylib 121	. 2 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
103		ctssdclemr 7077	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
104	102, 103	impbii 125	1 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   omcom 4567   ran crn 4605   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ⊔ cdju 7002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by:  ctiunct  12373  ssomct  12378