Theorem ctssdc 7069

Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7105. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdc	|- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, s, n

Proof of Theorem ctssdc

Dummy variables g m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s -onto-> A )
2		fof 5404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : s -onto-> A -> f : s --> A )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s --> A )
4	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> f : s --> A )
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> m e. s )
6	4, 5	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> ( f ` m ) e. A )
7	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> f : s --> A )
8		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> (/) e. s )
9	7, 8	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
10		elequ1 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( n e. s <-> m e. s ) )
11	10	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> (DECID n e. s <-> DECID m e. s ) )
12		simpll2 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
13		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> m e. om )
14	11, 12, 13	rspcdva 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> DECID m e. s )
15	6, 9, 14	ifcldadc 3544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
16	15	fmpttd 5634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om --> A )
17	16	ffnd 5332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om )
18		fvelrnb 5528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
20	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> f : s -onto-> A )
21		foelrn 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : s -onto-> A /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
22	20, 21	sylancom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
23		simpll1 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> s C_ om )
24		eqid 2164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) )
25		elequ1 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( m e. s <-> z e. s ) )
26		fveq2 5480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( f ` m ) = ( f ` z ) )
27	25, 26	ifbieq1d 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = z -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
28	23	sselda 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. om )
29	3	ad4antr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
30		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> z e. s )
31	29, 30	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
32	3	ffvelrnda 5614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
33	32	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
34		elequ1 2139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = z -> ( n e. s <-> z e. s ) )
35	34	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = z -> (DECID n e. s <-> DECID z e. s ) )
36		simp2 987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> A. n e. om DECID n e. s )
37	36	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
38	35, 37, 28	rspcdva 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> DECID z e. s )
39	31, 33, 38	ifcldadc 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
40	24, 27, 28, 39	fvmptd3 5573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
41		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. s )
42	41	iftrued 3522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) = ( f ` z ) )
43	40, 42	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
45		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> y = ( f ` z ) )
46	44, 45	eqtr4d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
47	46	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( y = ( f ` z ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
48	47	reximdva 2566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
49		ssrexv 3202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ om -> ( E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
50	23, 48, 49	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
51	22, 50	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
52	51	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
53		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> z e. om )
55	3	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> z e. s )
57	55, 56	ffvelrnd 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
58	32	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
59		simpll2 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
60	35, 59, 54	rspcdva 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> DECID z e. s )
61	57, 58, 60	ifcldadc 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
62	24, 27, 54, 61	fvmptd3 5573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
63	62, 61	eqeltrd 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
64	63	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
65	53, 64	eqeltrrd 2242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> y e. A )
66	65	rexlimdva2 2584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> y e. A ) )
67	52, 66	impbid 128	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
68	19, 67	bitr4d 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> y e. A ) )
69	68	eqrdv 2162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A )
70		df-fo 5188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om /\ ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A ) )
71	17, 69, 70	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
72		omex 4564	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. _V
73	72	mptex 5705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
74		foeq1 5400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
75	73, 74	spcev 2816	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A )
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> A )
77		elex2 2737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
78	32, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. x x e. A )
79		ctm 7065	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
81	76, 80	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		simpl1 989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> s C_ om )
83	36	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
84	1	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> f : s -onto-> A )
85		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> -. (/) e. s )
86	82, 83, 84, 85	ctssdclemn0 7066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		eleq1 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( n e. s <-> (/) e. s ) )
88	87	dcbid 828	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> (DECID n e. s <-> DECID (/) e. s ) )
89		peano1 4565	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> (/) e. om )
91	88, 36, 90	rspcdva 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> DECID (/) e. s )
92		exmiddc 826	. . . . . . . . . 10 |- (DECID (/) e. s -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
94	81, 86, 93	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
95	94	3expia 1194	. . . . . . 7 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
96	95	exlimdv 1806	. . . . . 6 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( E. f f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
97	96	3impia 1189	. . . . 5 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ E. f f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
98	97	3com23 1198	. . . 4 |- ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
99	98	exlimiv 1585	. . 3 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
100		foeq1 5400	. . . 4 |- ( g = f -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
101	100	cbvexv 1905	. . 3 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
102	99, 101	sylib 121	. 2 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
103		ctssdclemr 7068	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
104	102, 103	impbii 125	1 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 967   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   C_ wss 3111   (/)c0 3404   ifcif 3515   |-> cmpt 4037   omcom 4561   ran crn 4599   Fn wfn 5177   -->wf 5178   -onto->wfo 5180   ` cfv 5182   1oc1o 6368   ⊔ cdju 6993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-1o 6375  df-dju 6994  df-inl 7003  df-inr 7004  df-case 7040

This theorem is referenced by:  ctiunct  12310  ssomct  12315