Theorem ctssdc 7453

Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7490. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctssdc	|- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

Distinct variable group:   A, f, s, n

Proof of Theorem ctssdc

Dummy variables g m x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s -onto-> A )
2		fof 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : s -onto-> A -> f : s --> A )
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> f : s --> A )
4	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> f : s --> A )
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> m e. s )
6	4, 5	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ m e. s ) -> ( f ` m ) e. A )
7	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> f : s --> A )
8		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> (/) e. s )
9	7, 8	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) /\ -. m e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
10		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( n e. s <-> m e. s ) )
11	10	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> (DECID n e. s <-> DECID m e. s ) )
12		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> m e. om )
14	11, 12, 13	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> DECID m e. s )
15	6, 9, 14	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ m e. om ) -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
16	15	fmpttd 5863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om --> A )
17	16	ffnd 5534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om )
18		fvelrnb 5750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
20	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> f : s -onto-> A )
21		foelrn 5958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : s -onto-> A /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
22	20, 21	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. s y = ( f ` z ) )
23		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> s C_ om )
24		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) )
25		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( m e. s <-> z e. s ) )
26		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = z -> ( f ` m ) = ( f ` z ) )
27	25, 26	ifbieq1d 3663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = z -> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
28	23	sselda 3248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. om )
29	3	ad4antr 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
30		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> z e. s )
31	29, 30	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
32	3	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
33	32	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
34		elequ1 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = z -> ( n e. s <-> z e. s ) )
35	34	dcbid 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = z -> (DECID n e. s <-> DECID z e. s ) )
36		simp2 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> A. n e. om DECID n e. s )
37	36	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
38	35, 37, 28	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> DECID z e. s )
39	31, 33, 38	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
40	24, 27, 28, 39	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
41		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> z e. s )
42	41	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) = ( f ` z ) )
43	40, 42	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = ( f ` z ) )
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> y = ( f ` z ) )
46	44, 45	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) /\ y = ( f ` z ) ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
47	46	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) /\ z e. s ) -> ( y = ( f ` z ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
48	47	reximdva 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
49		ssrexv 3313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ om -> ( E. z e. s ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
50	23, 48, 49	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> ( E. z e. s y = ( f ` z ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
51	22, 50	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ y e. A ) -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
52	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A -> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
53		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> z e. om )
55	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> f : s --> A )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> z e. s )
57	55, 56	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ z e. s ) -> ( f ` z ) e. A )
58	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ -. z e. s ) -> ( f ` (/) ) e. A )
59		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> A. n e. om DECID n e. s )
60	35, 59, 54	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> DECID z e. s )
61	57, 58, 60	ifcldadc 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) e. A )
62	24, 27, 54, 61	fvmptd3 5799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = if ( z e. s , ( f ` z ) , ( f ` (/) ) ) )
63	62, 61	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) e. A )
65	53, 64	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) /\ z e. om ) /\ ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) -> y e. A )
66	65	rexlimdva2 2671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y -> y e. A ) )
67	52, 66	impbid 129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. A <-> E. z e. om ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) ` z ) = y ) )
68	19, 67	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( y e. ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) <-> y e. A ) )
69	68	eqrdv 2236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A )
70		df-fo 5383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A <-> ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) Fn om /\ ran ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) = A ) )
71	17, 69, 70	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A )
72		omex 4740	. . . . . . . . . . . . 13 |- om e. _V
73	72	mptex 5943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) e. _V
74		foeq1 5611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) -> ( g : om -onto-> A <-> ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A ) )
75	73, 74	spcev 2920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. om |-> if ( m e. s , ( f ` m ) , ( f ` (/) ) ) ) : om -onto-> A -> E. g g : om -onto-> A )
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> A )
77		elex2 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. x x e. A )
78	32, 77	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. x x e. A )
79		ctm 7449	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x x e. A -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. g g : om -onto-> A ) )
81	76, 80	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
82		simpl1 1031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> s C_ om )
83	36	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> A. n e. om DECID n e. s )
84	1	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> f : s -onto-> A )
85		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> -. (/) e. s )
86	82, 83, 84, 85	ctssdclemn0 7450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) /\ -. (/) e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
87		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = (/) -> ( n e. s <-> (/) e. s ) )
88	87	dcbid 850	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = (/) -> (DECID n e. s <-> DECID (/) e. s ) )
89		peano1 4741	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. om
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> (/) e. om )
91	88, 36, 90	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> DECID (/) e. s )
92		exmiddc 848	. . . . . . . . . 10 |- (DECID (/) e. s -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> ( (/) e. s \/ -. (/) e. s ) )
94	81, 86, 93	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
95	94	3expia 1236	. . . . . . 7 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
96	95	exlimdv 1872	. . . . . 6 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> ( E. f f : s -onto-> A -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
97	96	3impia 1231	. . . . 5 |- ( ( s C_ om /\ A. n e. om DECID n e. s /\ E. f f : s -onto-> A ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
98	97	3com23 1240	. . . 4 |- ( ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
99	98	exlimiv 1651	. . 3 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
100		foeq1 5611	. . . 4 |- ( g = f -> ( g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) ) )
101	100	cbvexv 1974	. . 3 |- ( E. g g : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
102	99, 101	sylib 122	. 2 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) -> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )
103		ctssdclemr 7452	. 2 |- ( E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) -> E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) )
104	102, 103	impbii 126	1 |- ( E. s ( s C_ om /\ E. f f : s -onto-> A /\ A. n e. om DECID n e. s ) <-> E. f f : om -onto-> ( A ⊔ 1o ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   omcom 4737   ran crn 4775   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -onto->wfo 5375   ` cfv 5377   1oc1o 6680   ⊔ cdju 7377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-dju 7378  df-inl 7387  df-inr 7388  df-case 7424

This theorem is used by:  ctiunct  13331  ssomct  13336