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Theorem ctssdc 7005
Description: A set is countable iff there is a surjection from a decidable subset of the natural numbers onto it. The decidability condition is needed as shown at ctssexmid 7031. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctssdc  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  <->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) )
Distinct variable group:    A, f, s, n

Proof of Theorem ctssdc
Dummy variables  g  m  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  f :
s -onto-> A )
2 fof 5352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : s -onto-> A  -> 
f : s --> A )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  f :
s --> A )
43ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  s )  ->  f :
s --> A )
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  s )  ->  m  e.  s )
64, 5ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  m  e.  s )  ->  ( f `  m )  e.  A
)
73ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  s )  ->  f : s --> A )
8 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  s )  ->  (/)  e.  s )
97, 8ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  /\  -.  m  e.  s )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
10 elequ1 1691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e.  s  <->  m  e.  s ) )
1110dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (DECID  n  e.  s  <-> DECID  m  e.  s )
)
12 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
13 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  ->  m  e.  om )
1411, 12, 13rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  -> DECID 
m  e.  s )
156, 9, 14ifcldadc 3505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  m  e.  om )  ->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) )  e.  A
)
1615fmpttd 5582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om --> A )
1716ffnd 5280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  Fn 
om )
18 fvelrnb 5476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  Fn  om  ->  ( y  e.  ran  (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  <->  E. z  e.  om  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
1917, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  ran  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  <->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
201ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  f :
s -onto-> A )
21 foelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : s -onto-> A  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  s  y  =  ( f `  z
) )
2220, 21sylancom 417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  s  y  =  ( f `  z
) )
23 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  s  C_  om )
24 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) )  =  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )
25 elequ1 1691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  z  ->  (
m  e.  s  <->  z  e.  s ) )
26 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  z  ->  (
f `  m )  =  ( f `  z ) )
2725, 26ifbieq1d 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  z  ->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) )  =  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) ) )
2823sselda 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  om )
293ad4antr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  z  e.  s )  ->  f : s --> A )
30 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  s )
3129, 30ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  z  e.  s )  ->  (
f `  z )  e.  A )
323ffvelrnda 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( f `  (/) )  e.  A
)
3332ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  -.  z  e.  s )  ->  ( f `  (/) )  e.  A )
34 elequ1 1691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  z  ->  (
n  e.  s  <->  z  e.  s ) )
3534dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  z  ->  (DECID  n  e.  s  <-> DECID  z  e.  s )
)
36 simp2 983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
3736ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
3835, 37, 28rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  -> DECID  z  e.  s
)
3931, 33, 38ifcldadc 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) )  e.  A )
4024, 27, 28, 39fvmptd3 5521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) ) )
41 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  s )
4241iftrued 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) )  =  ( f `  z ) )
4340, 42eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  ( f `  z ) )
4443adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  y  =  ( f `  z ) )  -> 
( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  ( f `  z ) )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  y  =  ( f `  z ) )  -> 
y  =  ( f `
 z ) )
4644, 45eqtr4d 2176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  s )  /\  y  =  ( f `  z ) )  -> 
( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y )
4746ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  /\  z  e.  s )  ->  (
y  =  ( f `
 z )  -> 
( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
4847reximdva 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  s  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  s  ( (
m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
49 ssrexv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  om  ->  ( E. z  e.  s  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
5023, 48, 49sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  s  y  =  ( f `  z )  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
5122, 50mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  y  e.  A
)  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )
5251ex 114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  A  ->  E. z  e.  om  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y ) )
53 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y )
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
553ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  z  e.  s )  ->  f :
s --> A )
56 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  z  e.  s )  ->  z  e.  s )
5755, 56ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  z  e.  s )  ->  ( f `  z )  e.  A
)
5832ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  -.  z  e.  s )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
59 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
6035, 59, 54rspcdva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  -> DECID 
z  e.  s )
6157, 58, 60ifcldadc 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  if ( z  e.  s ,  ( f `  z ) ,  ( f `  (/) ) )  e.  A
)
6224, 27, 54, 61fvmptd3 5521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  if ( z  e.  s ,  ( f `
 z ) ,  ( f `  (/) ) ) )
6362, 61eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( s  C_  om 
/\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  ->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  e.  A )
6463adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )  ->  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  e.  A )
6553, 64eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( s 
C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  /\  z  e.  om )  /\  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) ) `
 z )  =  y )  ->  y  e.  A )
6665rexlimdva2 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( E. z  e.  om  (
( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y  ->  y  e.  A ) )
6752, 66impbid 128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  A  <->  E. z  e.  om  ( ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) `  z )  =  y ) )
6819, 67bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( y  e.  ran  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  <->  y  e.  A ) )
6968eqrdv 2138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ran  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) )  =  A )
70 df-fo 5136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A  <->  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  Fn  om  /\  ran  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  =  A ) )
7117, 69, 70sylanbrc 414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A )
72 omex 4514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  _V
7372mptex 5653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m
) ,  ( f `
 (/) ) ) )  e.  _V
74 foeq1 5348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( m  e. 
om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) )  -> 
( g : om -onto-> A 
<->  ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A
) )
7573, 74spcev 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  om  |->  if ( m  e.  s ,  ( f `  m ) ,  ( f `  (/) ) ) ) : om -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> A )
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  E. g 
g : om -onto-> A
)
77 elex2 2705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. x  x  e.  A )
7832, 77syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  E. x  x  e.  A )
79 ctm 7001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( E. g  g : om -onto-> ( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto-> A ) )
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  ( E. g  g : om -onto->
( A 1o )  <->  E. g  g : om -onto-> A ) )
8176, 80mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  (/)  e.  s )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
82 simpl1 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  -> 
s  C_  om )
8336adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  ->  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )
841adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  -> 
f : s -onto-> A )
85 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  ->  -.  (/)  e.  s )
8682, 83, 84, 85ctssdclemn0 7002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s
-onto-> A )  /\  -.  (/) 
e.  s )  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
87 eleq1 2203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  (/)  ->  ( n  e.  s  <->  (/)  e.  s ) )
8887dcbid 824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  (/)  ->  (DECID  n  e.  s  <-> DECID  (/) 
e.  s ) )
89 peano1 4515 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  om
9089a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  (/)  e.  om )
9188, 36, 90rspcdva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  -> DECID  (/)  e.  s )
92 exmiddc 822 . . . . . . . . . 10  |-  (DECID  (/)  e.  s  ->  ( (/)  e.  s  \/  -.  (/)  e.  s ) )
9391, 92syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  ( (/)  e.  s  \/  -.  (/)  e.  s ) )
9481, 86, 93mpjaodan 788 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  f : s -onto-> A )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
95943expia 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s
)  ->  ( f : s -onto-> A  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) ) )
9695exlimdv 1792 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s
)  ->  ( E. f  f : s
-onto-> A  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) ) )
97963impia 1179 . . . . 5  |-  ( ( s  C_  om  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s  /\  E. f  f : s -onto-> A )  ->  E. g 
g : om -onto-> ( A 1o ) )
98973com23 1188 . . . 4  |-  ( ( s  C_  om  /\  E. f  f : s
-onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
9998exlimiv 1578 . . 3  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  ->  E. g  g : om -onto-> ( A 1o ) )
100 foeq1 5348 . . . 4  |-  ( g  =  f  ->  (
g : om -onto-> ( A 1o )  <->  f : om -onto-> ( A 1o ) ) )
101100cbvexv 1891 . . 3  |-  ( E. g  g : om -onto->
( A 1o )  <->  E. f  f : om -onto->
( A 1o )
)
10299, 101sylib 121 . 2  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  ->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) )
103 ctssdclemr 7004 . 2  |-  ( E. f  f : om -onto->
( A 1o )  ->  E. s ( s 
C_  om  /\  E. f 
f : s -onto-> A  /\  A. n  e. 
om DECID 
n  e.  s ) )
104102, 103impbii 125 1  |-  ( E. s ( s  C_  om 
/\  E. f  f : s -onto-> A  /\  A. n  e.  om DECID  n  e.  s )  <->  E. f  f : om -onto-> ( A 1o ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418    C_ wss 3075   (/)c0 3367   ifcif 3478    |-> cmpt 3996   omcom 4511   ran crn 4547    Fn wfn 5125   -->wf 5126   -onto->wfo 5128   ` cfv 5130   1oc1o 6313   ⊔ cdju 6929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940  df-case 6976
This theorem is referenced by:  ctiunct  11987
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