Theorem foelrn 5844

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.) (Proof shortened by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem foelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima2 5843	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
2	1	biimpa 296	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∃wrex 2487  –onto→wfo 5288  ‘cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fo 5296  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  foco2  5845  ctmlemr  7236  ctm  7237  ctssdclemn0  7238  ctssdccl  7239  ctssdc  7241  enumctlemm  7242  fodju0  7275  exmidfodomrlemr  7341  exmidfodomrlemrALT  7342  ennnfonelemrn  12905  ctinf  12916  ctiunctlemfo  12925  znidom  14534  znrrg  14537  subctctexmid  16139  pw1nct  16142