Theorem foelrn 5662

Description: Property of a surjective function. (Contributed by Jeff Madsen, 4-Jan-2011.) (Proof shortened by BJ, 6-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
foelrn	⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem foelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foima2 5661	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → (𝐶 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥)))
2	1	biimpa 294	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–onto→𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  –onto→wfo 5129  ‘cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fo 5137  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  foco2  5663  ctmlemr  7001  ctm  7002  ctssdclemn0  7003  ctssdccl  7004  ctssdc  7006  enumctlemm  7007  fodju0  7027  exmidfodomrlemr  7075  exmidfodomrlemrALT  7076  ennnfonelemrn  11968  ctinf  11979  ctiunctlemfo  11988  subctctexmid  13369  pw1nct  13371