Theorem funvtxdm2domval 15870

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2domval	|- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxdm2domval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 15857	. . 3 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
2	1	3ad2ant1 1042	. 2 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
3		fundm2domnop0 11099	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
4	3	iffalsed 3613	. . 3 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
5	4	3adant1 1039	. 2 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
6	2, 5	eqtrd 2262	1 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   (/)c0 3492   ifcif 3603   {csn 3667   class class class wbr 4086   X. cxp 4721   dom cdm 4723   Fun wfun 5318   ` cfv 5324   1stc1st 6296   2oc2o 6571   ~<_ cdom 6903   Basecbs 13072  Vtxcvtx 15853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-fv 5332  df-1st 6298  df-1o 6577  df-2o 6578  df-dom 6906  df-inn 9134  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-vtx 15855

This theorem is referenced by:  basvtxval2dom  15875  grstructd2dom  15889