Theorem funvtxdm2domval 15703

Description: The set of vertices of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
funvtxdm2domval	|- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Proof of Theorem funvtxdm2domval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxvalg 15690	. . 3 |- ( G e. V -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
2	1	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) )
3		fundm2domnop0 11012	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
4	3	iffalsed 3585	. . 3 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
5	4	3adant1 1018	. 2 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 1st ` G ) , ( Base ` G ) ) = ( Base ` G ) )
6	2, 5	eqtrd 2239	1 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   (/)c0 3464   ifcif 3575   {csn 3638   class class class wbr 4051   X. cxp 4681   dom cdm 4683   Fun wfun 5274   ` cfv 5280   1stc1st 6237   2oc2o 6509   ~<_ cdom 6839   Basecbs 12907  Vtxcvtx 15686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-fv 5288  df-1st 6239  df-1o 6515  df-2o 6516  df-dom 6842  df-inn 9057  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-vtx 15688

This theorem is referenced by:  basvtxval2dom  15708  grstructd2dom  15722