Theorem basvtxval2dom 15891

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	|- ( ph -> G Struct X )
basvtxval2dom.d	|- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
basvtxval.v	|- ( ph -> V e. Y )
basvtxval.b	|- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )

Assertion

Ref	Expression
basvtxval2dom	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem basvtxval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13099	. . . 4 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
4		structn0fun 13100	. . . 4 |- ( G Struct X -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		basvtxval2dom.d	. . 3 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
7		funvtxdm2domval 15886	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1273	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )
9		basvtxval.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
10		basvtxval.b	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
11	1, 9, 10	opelstrbas 13203	. 2 |- ( ph -> V = ( Base ` G ) )
12	8, 11	eqtr4d 2267	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   (/)c0 3494   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   ` cfv 5326   2oc2o 6576   ~<_ cdom 6908   Struct cstr 13083   ndxcnx 13084   Basecbs 13087  Vtxcvtx 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-1st 6303  df-1o 6582  df-2o 6583  df-dom 6911  df-inn 9144  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-vtx 15871

This theorem is referenced by:  structvtxval  15896  structgrssvtx  15899