Theorem basvtxval2dom 16189

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	|- ( ph -> G Struct X )
basvtxval2dom.d	|- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
basvtxval.v	|- ( ph -> V e. Y )
basvtxval.b	|- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )

Assertion

Ref	Expression
basvtxval2dom	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem basvtxval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 13342	. . . 4 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
4		structn0fun 13343	. . . 4 |- ( G Struct X -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		basvtxval2dom.d	. . 3 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
7		funvtxdm2domval 16184	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )
9		basvtxval.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
10		basvtxval.b	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
11	1, 9, 10	opelstrbas 13446	. 2 |- ( ph -> V = ( Base ` G ) )
12	8, 11	eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   Fun wfun 5366   ` cfv 5372   2oc2o 6671   ~<_ cdom 7011   Struct cstr 13326   ndxcnx 13327   Basecbs 13330  Vtxcvtx 16167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-fv 5380  df-1st 6364  df-1o 6677  df-2o 6678  df-dom 7014  df-inn 9284  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-vtx 16169

This theorem is referenced by:  structvtxval  16194  structgrssvtx  16197