Theorem basvtxval2dom 15708

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.) (Revised by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.s	|- ( ph -> G Struct X )
basvtxval2dom.d	|- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
basvtxval.v	|- ( ph -> V e. Y )
basvtxval.b	|- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )

Assertion

Ref	Expression
basvtxval2dom	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Proof of Theorem basvtxval2dom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.s	. . . 4 |- ( ph -> G Struct X )
2		structex 12919	. . . 4 |- ( G Struct X -> G e. _V )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. _V )
4		structn0fun 12920	. . . 4 |- ( G Struct X -> Fun ( G \ { (/) } ) )
5	1, 4	syl 14	. . 3 |- ( ph -> Fun ( G \ { (/) } ) )
6		basvtxval2dom.d	. . 3 |- ( ph -> 2o ~<_ dom G )
7		funvtxdm2domval 15703	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )
8	3, 5, 6, 7	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = ( Base ` G ) )
9		basvtxval.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Y )
10		basvtxval.b	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , V >. e. G )
11	1, 9, 10	opelstrbas 13022	. 2 |- ( ph -> V = ( Base ` G ) )
12	8, 11	eqtr4d 2242	1 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   (/)c0 3464   {csn 3638   <.cop 3641   class class class wbr 4051   dom cdm 4683   Fun wfun 5274   ` cfv 5280   2oc2o 6509   ~<_ cdom 6839   Struct cstr 12903   ndxcnx 12904   Basecbs 12907  Vtxcvtx 15686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-suc 4426  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-fv 5288  df-1st 6239  df-1o 6515  df-2o 6516  df-dom 6842  df-inn 9057  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-vtx 15688

This theorem is referenced by:  structvtxval  15713  structgrssvtx  15716