Theorem funiedgdm2domval 15900

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with (at least) two slots. (Contributed by AV, 12-Oct-2020.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
funiedgdm2domval	|- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (iEdg ` G ) = (.ef ` G ) )

Proof of Theorem funiedgdm2domval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgvalg 15887	. . 3 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
2	1	3ad2ant1 1044	. 2 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
3		fundm2domnop0 11113	. . . 4 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> -. G e. ( _V X. _V ) )
4	3	iffalsed 3615	. . 3 |- ( ( Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) = (.ef ` G ) )
5	4	3adant1 1041	. 2 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) = (.ef ` G ) )
6	2, 5	eqtrd 2264	1 |- ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) /\ 2o ~<_ dom G ) -> (iEdg ` G ) = (.ef ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   dom cdm 4725   Fun wfun 5320   ` cfv 5326   2ndc2nd 6302   2oc2o 6576   ~<_ cdom 6908  .efcedgf 15874  iEdgciedg 15883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-dom 6911  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-edgf 15875  df-iedg 15885

This theorem is referenced by:  edgfiedgval2dom  15905  structiedg0val  15910  grstructd2dom  15918