ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzass4 Unicode version

Theorem fzass4 9988
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( B  e.  ( A ... C
)  /\  C  e.  ( A ... D ) ) )

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  B  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 simprl 521 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
31, 2jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
4 uztrn 9474 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A )
)
54ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A )
)
65ad2ant2r 501 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  A ) )
7 simprr 522 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  C ) )
83, 6, 7jca32 308 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
9 simpll 519 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  B  e.  (
ZZ>= `  A ) )
10 uztrn 9474 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
1110ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
1211ad2ant2l 500 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  B ) )
139, 12jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
14 simplr 520 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
15 simprr 522 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  C ) )
1613, 14, 15jca32 308 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
178, 16impbii 125 . 2  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  <-> 
( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
18 elfzuzb 9946 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... D )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
19 elfzuzb 9946 . . 3  |-  ( C  e.  ( B ... D )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) )
2018, 19anbi12i 456 . 2  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
21 elfzuzb 9946 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... C )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
22 elfzuzb 9946 . . 3  |-  ( C  e.  ( A ... D )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) )
2321, 22anbi12i 456 . 2  |-  ( ( B  e.  ( A ... C )  /\  C  e.  ( A ... D ) )  <->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
2417, 20, 233bitr4i 211 1  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( B  e.  ( A ... C
)  /\  C  e.  ( A ... D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 2135   ` cfv 5183  (class class class)co 5837   ZZ>=cuz 9458   ...cfz 9936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-pre-ltwlin 7858
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-neg 8064  df-z 9184  df-uz 9459  df-fz 9937
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator