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Theorem fzass4 9873
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) )
Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2 simprl 521 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
31, 2jca 304 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
4 uztrn 9366 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
54ancoms 266 . . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
65ad2ant2r 501 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
7 simprr 522 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` C ) )
83, 6, 7jca32 308 . . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
9 simpll 519 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 uztrn 9366 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( ZZ>= ` C ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
1110ancoms 266 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
1211ad2ant2l 500 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
139, 12jca 304 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) )
14 simplr 520 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
15 simprr 522 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` C ) )
1613, 14, 15jca32 308 . . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
178, 16impbii 125 . 2 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
18 elfzuzb 9831 . . 3 |- ( B e. ( A ... D ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) )
19 elfzuzb 9831 . . 3 |- ( C e. ( B ... D ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) )
2018, 19anbi12i 456 . 2 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
21 elfzuzb 9831 . . 3 |- ( B e. ( A ... C ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
22 elfzuzb 9831 . . 3 |- ( C e. ( A ... D ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) )
2321, 22anbi12i 456 . 2 |- ( ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
2417, 20, 233bitr4i 211 1 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-pre-ltwlin 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822
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