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Theorem fzass4 10076
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( B  e.  ( A ... C
)  /\  C  e.  ( A ... D ) ) )

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  B  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
31, 2jca 306 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
4 uztrn 9558 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A )
)
54ancoms 268 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A )
)
65ad2ant2r 509 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  A ) )
7 simprr 531 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  C ) )
83, 6, 7jca32 310 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
9 simpll 527 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  B  e.  (
ZZ>= `  A ) )
10 uztrn 9558 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
1110ancoms 268 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
1211ad2ant2l 508 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  B ) )
139, 12jca 306 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
14 simplr 528 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
15 simprr 531 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  C ) )
1613, 14, 15jca32 310 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
178, 16impbii 126 . 2  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  <-> 
( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
18 elfzuzb 10033 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... D )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
19 elfzuzb 10033 . . 3  |-  ( C  e.  ( B ... D )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) )
2018, 19anbi12i 460 . 2  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
21 elfzuzb 10033 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... C )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
22 elfzuzb 10033 . . 3  |-  ( C  e.  ( A ... D )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) )
2321, 22anbi12i 460 . 2  |-  ( ( B  e.  ( A ... C )  /\  C  e.  ( A ... D ) )  <->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
2417, 20, 233bitr4i 212 1  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( B  e.  ( A ... C
)  /\  C  e.  ( A ... D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   ZZ>=cuz 9542   ...cfz 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltwlin 7938
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-neg 8145  df-z 9268  df-uz 9543  df-fz 10023
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