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Theorem fzass4 10359
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) )
Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
2 simprl 531 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
31, 2jca 306 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
4 uztrn 9834 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
54ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
65ad2ant2r 509 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` A ) )
7 simprr 533 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` C ) )
83, 6, 7jca32 310 . . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
9 simpll 527 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` A ) )
10 uztrn 9834 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( ZZ>= ` C ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
1110ancoms 268 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
1211ad2ant2l 508 . . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` B ) )
139, 12jca 306 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) )
14 simplr 529 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> C e. ( ZZ>= ` B ) )
15 simprr 533 . . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> D e. ( ZZ>= ` C ) )
1613, 14, 15jca32 310 . . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) -> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
178, 16impbii 126 . 2 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
18 elfzuzb 10316 . . 3 |- ( B e. ( A ... D ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) )
19 elfzuzb 10316 . . 3 |- ( C e. ( B ... D ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) )
2018, 19anbi12i 460 . 2 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` B ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
21 elfzuzb 10316 . . 3 |- ( B e. ( A ... C ) <-> ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) )
22 elfzuzb 10316 . . 3 |- ( C e. ( A ... D ) <-> ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) )
2321, 22anbi12i 460 . 2 |- ( ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) <-> ( ( B e. ( ZZ>= ` A ) /\ C e. ( ZZ>= ` B ) ) /\ ( C e. ( ZZ>= ` A ) /\ D e. ( ZZ>= ` C ) ) ) )
2417, 20, 233bitr4i 212 1 |- ( ( B e. ( A ... D ) /\ C e. ( B ... D ) ) <-> ( B e. ( A ... C ) /\ C e. ( A ... D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-pre-ltwlin 8205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-neg 8412  df-z 9541  df-uz 9817  df-fz 10306
This theorem is referenced by:  ccatswrd  11317  ccatpfx  11348
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