Theorem elfzuzb 10432

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1011	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		an6 1362	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3		df-3an 1011	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4		anandir 599	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) )
5		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6	5	anbi2i 461	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
7	3, 4, 6	3bitri 206	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	anbi1i 462	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	1, 2, 8	3bitr4ri 213	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
10		elfz2 10428	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
11		eluz2 9936	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
12		eluz2 9936	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
13	11, 12	anbi12i 464	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
14	9, 10, 13	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   ZZcz 9648   ZZ>=cuz 9930   ...cfz 10421

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-neg 8501  df-z 9649  df-uz 9931  df-fz 10422

This theorem is used by:  eluzfz  10433  elfzuz  10434  elfzuz3  10435  elfzuz2  10443  peano2fzr  10451  fzsplit2  10465  fzsplit3  10468  fzass4  10478  fzss1  10479  fzss2  10480  fzp1elp1  10492  fznn  10506  elfz2nn0  10529  elfzofz  10580  fzosplitsnm1  10637  fzofzp1b  10656  fzosplitsn  10661  infssfzcldc  10679  infssfzledc  10680  seq3fveq2  10925  seqfveq2g  10927  monoord  10935  seq3id2  10976  bcn1  11210  seq3coll  11308  ccatrn  11391  swrds1  11454  swrdccat2  11457  summodclem2a  12164  fisum0diag2  12230  mertenslemi1  12318  prodmodclem2a  12359  ppiqsval  16156  ppiqsval2  16157  ppidif  16175  bposlem4  16212