Theorem elfzuzb 10254

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1006	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		an6 1357	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3		df-3an 1006	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4		anandir 595	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) )
5		ancom 266	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6	5	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
7	3, 4, 6	3bitri 206	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	anbi1i 458	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	1, 2, 8	3bitr4ri 213	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
10		elfz2 10250	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
11		eluz2 9761	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
12		eluz2 9761	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
13	11, 12	anbi12i 460	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
14	9, 10, 13	3bitr4i 212	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   <_ cle 8215   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-neg 8353  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244

This theorem is referenced by:  eluzfz  10255  elfzuz  10256  elfzuz3  10257  elfzuz2  10264  peano2fzr  10272  fzsplit2  10285  fzass4  10297  fzss1  10298  fzss2  10299  fzp1elp1  10310  fznn  10324  elfz2nn0  10347  elfzofz  10398  fzosplitsnm1  10455  fzofzp1b  10474  fzosplitsn  10479  seq3fveq2  10738  seqfveq2g  10740  monoord  10748  seq3id2  10789  bcn1  11021  seq3coll  11107  ccatrn  11190  swrds1  11253  swrdccat2  11256  summodclem2a  11960  fisum0diag2  12026  mertenslemi1  12114  prodmodclem2a  12155