Theorem elfzuzb 9831

Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzuzb	|- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Proof of Theorem elfzuzb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 965	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		an6 1300	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3		df-3an 965	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) )
4		anandir 581	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) )
5		ancom 264	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
6	5	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
7	3, 4, 6	3bitri 205	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
8	7	anbi1i 454	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
9	1, 2, 8	3bitr4ri 212	. 2 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
10		elfz2 9828	. 2 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
11		eluz2 9356	. . 3 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) )
12		eluz2 9356	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K ) <-> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) )
13	11, 12	anbi12i 456	. 2 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ M <_ K ) /\ ( K e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K <_ N ) ) )
14	9, 10, 13	3bitr4i 211	1 |- ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-neg 7960  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by:  eluzfz  9832  elfzuz  9833  elfzuz3  9834  elfzuz2  9840  peano2fzr  9848  fzsplit2  9861  fzass4  9873  fzss1  9874  fzss2  9875  fzp1elp1  9886  fznn  9900  elfz2nn0  9923  elfzofz  9970  fzosplitsnm1  10017  fzofzp1b  10036  fzosplitsn  10041  seq3fveq2  10273  monoord  10280  seq3id2  10313  bcn1  10536  seq3coll  10617  summodclem2a  11182  fisum0diag2  11248  mertenslemi1  11336  prodmodclem2a  11377