Theorem fzss1 9843

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	|- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9802	. . . . 5 |- ( k e. ( K ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` K ) )
2		id 19	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
3		uztrn 9342	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
5		elfzuz3 9803	. . . . 5 |- ( k e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	adantl 275	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
7		elfzuzb 9800	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 413	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
9	8	ex 114	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( K ... N ) -> k e. ( M ... N ) ) )
10	9	ssrdv 3103	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   C_ wss 3071   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   ZZ>=cuz 9326   ...cfz 9790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-pre-ltwlin 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791

This theorem is referenced by:  fzssnn  9848  fzp1ss  9853  ige2m1fz  9890  fzoss1  9948  fzossnn0  9952  ser3mono  10251  iseqf1olemnab  10261  bcpasc  10512  mertenslemi1  11304  structfn  11978  strleund  12047  strleun  12048