Theorem fzss1 10185

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	|- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 10143	. . . . 5 |- ( k e. ( K ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` K ) )
2		id 19	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
3		uztrn 9665	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
5		elfzuz3 10144	. . . . 5 |- ( k e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
7		elfzuzb 10141	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
9	8	ex 115	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( K ... N ) -> k e. ( M ... N ) ) )
10	9	ssrdv 3199	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltwlin 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-neg 8246  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131

This theorem is referenced by:  fzssnn  10190  fzp1ss  10195  ige2m1fz  10232  fzoss1  10295  fzossnn0  10299  ser3mono  10632  seqsplitg  10634  iseqf1olemnab  10646  seqf1oglem2  10665  bcpasc  10911  mertenslemi1  11846  reumodprminv  12576  structfn  12851  strleund  12935  strleun  12936  ply1termlem  15214  dvply1  15237  gausslemma2dlem3  15540  2lgslem1a  15565