Theorem fzss1 9538

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	|- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 9497	. . . . 5 |- ( k e. ( K ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` K ) )
2		id 19	. . . . 5 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> K e. ( ZZ>= ` M ) )
3		uztrn 9096	. . . . 5 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` K ) /\ K e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 285	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
5		elfzuz3 9498	. . . . 5 |- ( k e. ( K ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
6	5	adantl 272	. . . 4 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` k ) )
7		elfzuzb 9495	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ N e. ( ZZ>= ` k ) ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 409	. . 3 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. ( K ... N ) ) -> k e. ( M ... N ) )
9	8	ex 114	. 2 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( k e. ( K ... N ) -> k e. ( M ... N ) ) )
10	9	ssrdv 3032	1 |- ( K e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ... N ) C_ ( M ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1439   C_ wss 3000   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   ZZ>=cuz 9080   ...cfz 9485

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-pre-ltwlin 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-neg 7717  df-z 8812  df-uz 9081  df-fz 9486

This theorem is referenced by:  fzssnn  9543  fzp1ss  9548  ige2m1fz  9585  fzoss1  9643  fzossnn0  9647  isermono  9967  iseqsplit  9969  iseqf1olemnab  9978  bcpasc  10235  mertenslemi1  10990  structfn  11574  strleund  11643  strleun  11644