Theorem fzass4 10018

Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzass4	⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simprl 526	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
3	1, 2	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
4		uztrn 9503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	4	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6	5	ad2ant2r 506	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
8	3, 6, 7	jca32 308	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
9		simpll 524	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10		uztrn 9503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
11	10	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
12	11	ad2ant2l 505	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
13	9, 12	jca 304	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
14		simplr 525	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15		simprr 527	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	13, 14, 15	jca32 308	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
17	8, 16	impbii 125	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
18		elfzuzb 9975	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
19		elfzuzb 9975	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	18, 19	anbi12i 457	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
21		elfzuzb 9975	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzuzb 9975	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
23	21, 22	anbi12i 457	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
24	17, 20, 23	3bitr4i 211	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltwlin 7887

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-neg 8093  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by: (None)