ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzass4 GIF version

Theorem fzass4 10092
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
2 simprl 529 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
31, 2jca 306 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
4 uztrn 9574 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
54ancoms 268 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
65ad2ant2r 509 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
7 simprr 531 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))
83, 6, 7jca32 310 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
9 simpll 527 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
10 uztrn 9574 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
1110ancoms 268 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
1211ad2ant2l 508 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
139, 12jca 306 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)))
14 simplr 528 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
15 simprr 531 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))
1613, 14, 15jca32 310 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
178, 16impbii 126 . 2 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
18 elfzuzb 10049 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)))
19 elfzuzb 10049 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)))
2018, 19anbi12i 460 . 2 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
21 elfzuzb 10049 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
22 elfzuzb 10049 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)))
2321, 22anbi12i 460 . 2 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
2417, 20, 233bitr4i 212 1 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  wcel 2160  cfv 5235  (class class class)co 5896  cuz 9558  ...cfz 10038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-pre-ltwlin 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-neg 8161  df-z 9284  df-uz 9559  df-fz 10039
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator