ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzass4 GIF version

Theorem fzass4 9683
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 499 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
2 simprl 501 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
31, 2jca 302 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
4 uztrn 9192 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
54ancoms 266 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
65ad2ant2r 496 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
7 simprr 502 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))
83, 6, 7jca32 306 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
9 simpll 499 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
10 uztrn 9192 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
1110ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
1211ad2ant2l 495 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
139, 12jca 302 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)))
14 simplr 500 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
15 simprr 502 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))
1613, 14, 15jca32 306 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
178, 16impbii 125 . 2 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
18 elfzuzb 9641 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)))
19 elfzuzb 9641 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)))
2018, 19anbi12i 451 . 2 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
21 elfzuzb 9641 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
22 elfzuzb 9641 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)))
2321, 22anbi12i 451 . 2 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
2417, 20, 233bitr4i 211 1 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wcel 1448  cfv 5059  (class class class)co 5706  cuz 9176  ...cfz 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltwlin 7608
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-neg 7807  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator