Theorem fzass4 10446

Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzass4	⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
3	1, 2	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
4		uztrn 9918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	4	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6	5	ad2ant2r 513	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		simprr 537	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
8	3, 6, 7	jca32 310	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
9		simpll 531	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10		uztrn 9918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
11	10	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
12	11	ad2ant2l 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
13	9, 12	jca 306	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
14		simplr 533	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15		simprr 537	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	13, 14, 15	jca32 310	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
17	8, 16	impbii 126	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
18		elfzuzb 10401	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
19		elfzuzb 10401	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	18, 19	anbi12i 464	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
21		elfzuzb 10401	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzuzb 10401	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
23	21, 22	anbi12i 464	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
24	17, 20, 23	3bitr4i 212	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℤ_≥cuz 9900  ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltwlin 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  ccatswrd  11420  ccatpfx  11451