Theorem fzmmmeqm 10100

Description: Subtracting the difference of a member of a finite range of integers and the lower bound of the range from the difference of the upper bound and the lower bound of the range results in the difference of the upper bound of the range and the member. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzmmmeqm	|- ( M e. ( L ... N ) -> ( ( N - L ) - ( M - L ) ) = ( N - M ) )

Proof of Theorem fzmmmeqm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10057	. . 3 |- ( M e. ( L ... N ) <-> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( L <_ M /\ M <_ N ) ) )
2		zcn 9299	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		zcn 9299	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4		zcn 9299	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
5	2, 3, 4	3anim123i 1186	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
6	5	3comr 1213	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( L <_ M /\ M <_ N ) ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
8	1, 7	sylbi 121	. 2 |- ( M e. ( L ... N ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
9		nnncan2 8235	. 2 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( N - L ) - ( M - L ) ) = ( N - M ) )
10	8, 9	syl 14	1 |- ( M e. ( L ... N ) -> ( ( N - L ) - ( M - L ) ) = ( N - M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4025  (class class class)co 5904   CCcc 7849   <_ cle 8034   - cmin 8169   ZZcz 9294   ...cfz 10050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-setind 4561  ax-cnex 7942  ax-resscn 7943  ax-1cn 7944  ax-icn 7946  ax-addcl 7947  ax-addrcl 7948  ax-mulcl 7949  ax-addcom 7951  ax-addass 7953  ax-distr 7955  ax-i2m1 7956  ax-0id 7959  ax-rnegex 7960  ax-cnre 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-dif 3150  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-br 4026  df-opab 4087  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fv 5250  df-riota 5859  df-ov 5907  df-oprab 5908  df-mpo 5909  df-sub 8171  df-neg 8172  df-z 9295  df-fz 10051

This theorem is referenced by: (None)