Theorem fzmmmeqm 10150

Description: Subtracting the difference of a member of a finite range of integers and the lower bound of the range from the difference of the upper bound and the lower bound of the range results in the difference of the upper bound of the range and the member. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzmmmeqm	|- ( M e. ( L ... N ) -> ( ( N - L ) - ( M - L ) ) = ( N - M ) )

Proof of Theorem fzmmmeqm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10107	. . 3 |- ( M e. ( L ... N ) <-> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( L <_ M /\ M <_ N ) ) )
2		zcn 9348	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
3		zcn 9348	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
4		zcn 9348	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> L e. CC )
5	2, 3, 4	3anim123i 1186	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
6	5	3comr 1213	. . . 4 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( L <_ M /\ M <_ N ) ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
8	1, 7	sylbi 121	. 2 |- ( M e. ( L ... N ) -> ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) )
9		nnncan2 8280	. 2 |- ( ( N e. CC /\ M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( N - L ) - ( M - L ) ) = ( N - M ) )
10	8, 9	syl 14	1 |- ( M e. ( L ... N ) -> ( ( N - L ) - ( M - L ) ) = ( N - M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7894   <_ cle 8079   - cmin 8214   ZZcz 9343   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217  df-z 9344  df-fz 10101

This theorem is referenced by: (None)