ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznn0sub Unicode version

Theorem fznn0sub 9851
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )

Proof of Theorem fznn0sub
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 9817 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 uznn0sub 9371 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
31, 2syl 14 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    - cmin 7947   NN0cn0 8991   ZZ>=cuz 9340   ...cfz 9804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-inn 8735  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-fz 9805
This theorem is referenced by:  fznn0sub2  9919  bcval  10509  bcrpcl  10513  bcm1k  10520  bcp1n  10521  bcval5  10523  bcpasc  10526  permnn  10531  binomlem  11266  binom1p  11268  mertenslemi1  11318  mertensabs  11320  efaddlem  11394
  Copyright terms: Public domain W3C validator